꼭짓점 형태 변환 계산기란?
이 계산기는 표준형 \(y = ax^2 + bx + c\)로 쓰인 이차함수를 꼭짓점 형태 \(y = a(x - h)^2 + k\)로 변환해 줍니다. 꼭짓점 형태로 바꾸면 포물선의 꼭짓점과 대칭축을 한눈에 알 수 있어, 그래프를 그리거나 최적화 문제를 풀고, 최댓값·최솟값을 구할 때 매우 유용합니다.
사용 방법
이차함수의 세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 계산기가 꼭짓점의 좌표 \(h\)와 \(k\)를 계산해 식을 꼭짓점 형태로 다시 써 줍니다. \(a\) 값은 그대로 유지되는데, \(a\)는 포물선의 폭을 결정하고 위로 볼록한지(\(a > 0\)) 아래로 볼록한지(\(a < 0\))를 결정하기 때문입니다.
공식 풀이
\(y = ax^2 + bx + c\)를 완전제곱식으로 바꾸면 \(y = a(x - h)^2 + k\)가 됩니다. 가로 방향 이동량은 $$h = -\frac{b}{2a}$$이며, 이는 대칭축과 같은 식입니다. 세로 방향 위치는 $$k = c - \frac{b^2}{4a}$$입니다. \(h\)를 원래 식에 다시 대입해도 같은 \(k\)가 나오므로, 꼭짓점은 정확히 \((h, k)\)가 됩니다.
예제 풀이
\(y = x^2 - 4x + 3\)을 예로 들면 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다. 그러면 $$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$이고, $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$입니다. 따라서 꼭짓점 형태는 \(y = (x - 2)^2 - 1\)이고, 꼭짓점은 \((2, -1)\)에 위치합니다.
자주 묻는 질문
\(a = 0\)이면 어떻게 되나요? 그러면 이 식은 이차식이 아니라 일차식이 되어 꼭짓점이 없습니다. \(a\)에는 0이 아닌 값을 입력하세요.
\(h\)가 대칭축인가요? 맞습니다. 직선 \(x = h\)가 바로 포물선의 대칭축입니다.
\(a\)가 음수여도 되나요? 물론입니다. \(a\)가 음수이면 포물선이 아래로 볼록해지고, 꼭짓점은 최댓값이 됩니다.
