극형식 변환 계산기란?
이 계산기는 직교(직각좌표) 형식으로 쓰인 복소수 a + bi를 극형식으로 변환해 줍니다. 극형식은 같은 수를 원점으로부터의 거리(크기 \(r\))와 양의 실수축과 이루는 각도(편각 \(\theta\))로 나타냅니다. 표기는 \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\), 또는 간단히 \(r\angle\theta\)로 합니다.
사용 방법
복소수의 실수부 a와 허수부 b를 입력하면 크기와 각도를 바로 확인할 수 있습니다. 각도는 라디안과 도(°) 두 단위로 함께 표시되므로 문제에 맞는 단위를 골라 쓰면 됩니다.
공식 풀이
크기는 피타고라스 정리에서 바로 나옵니다. $$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$로, 빗변이 두 변 \(a\)와 \(b\)로 이루어진 직각삼각형의 빗변 길이와 같습니다. 각도는 두 인수를 받는 아크탄젠트, 즉 $$\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$$를 사용합니다. 이 함수는 \(a\)와 \(b\)의 부호를 모두 고려해 \((-\pi, \pi]\) 전 범위에서 올바른 각도를 돌려줍니다. 덕분에 단순한 \(\arctan(b/a)\)에서 생기는 사분면 모호성 문제가 사라집니다.
예제 풀이
복소수 \(3 + 4i\)를 살펴봅시다. 크기는 $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$입니다. 각도는 $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ 라디안} \approx 53.13°$$가 됩니다. 따라서 $$3 + 4i = 5(\cos 53.13° + i\cdot\sin 53.13°)$$로 나타낼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
arctan 대신 atan2를 쓰는 이유는? 단순한 arctan은 부호 정보를 잃어버려서 점이 어느 사분면에 있는지 구분하지 못합니다. \(\operatorname{atan2}(b, a)\)는 두 입력값을 모두 사용해 정확한 각도를 돌려줍니다.
각도의 범위는 어떻게 되나요? 라디안 각도는 \((-\pi, \pi]\), 즉 \((-180°, 180°]\) 범위에 들어갑니다. 양의 각도로 표현하고 싶다면 360°(또는 \(2\pi\))를 더하면 됩니다.
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 크기는 0이 되고 각도는 정의되지 않습니다(관례상 0으로 표시합니다).
