¿Qué es la calculadora de forma polar?
Esta herramienta convierte un número complejo escrito en forma rectangular (cartesiana), \(a + bi\), a su forma polar. La forma polar expresa el mismo número mediante su distancia al origen (el módulo \(r\)) y el ángulo que forma con el eje real positivo (el argumento \(\theta\)). Se escribe como \(r(\cos\theta + i\cdot\operatorname{sen}\theta)\) o, de forma abreviada, como \(r\angle\theta\).
Cómo usarla
Introduce la parte real a y la parte imaginaria b de tu número complejo y obtendrás directamente el módulo y el ángulo. El ángulo se muestra tanto en radianes como en grados, de modo que puedas usar la unidad que necesites en cada problema.
La fórmula, paso a paso
El módulo se obtiene directamente del teorema de Pitágoras: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son \(a\) y \(b\). El ángulo se calcula con el arcotangente de dos argumentos, \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), que devuelve el ángulo correcto en todo el rango \((-\pi, \pi]\) al tener en cuenta los signos tanto de \(a\) como de \(b\). Así se evita la ambigüedad de cuadrante del simple \(\arctan(b/a)\).
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Re}^{2} + \text{Im}^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Im},\, \text{Re}\right) \end{aligned}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos el número complejo \(3 + 4i\). El módulo es $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$ El ángulo es $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radianes} \approx 53{,}13°.$$ Por tanto, \(3 + 4i = 5(\cos 53{,}13° + i\cdot\operatorname{sen} 53{,}13°)\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué usar atan2 en lugar de arctan? El arcotangente simple pierde la información del signo y no puede determinar en qué cuadrante se encuentra el punto. En cambio, \(\operatorname{atan2}(b, a)\) emplea ambos valores y devuelve el ángulo real.
¿En qué rango está el ángulo? El ángulo en radianes pertenece al intervalo \((-\pi, \pi]\), equivalente a \((-180°, 180°]\). Si lo prefieres, suma 360° (o \(2\pi\)) para expresarlo como un ángulo positivo.
¿Qué ocurre si a y b son ambos cero? El módulo es 0 y el ángulo queda indefinido (por convención se devuelve como 0).
