Qué hace este conversor
Esta herramienta convierte un número complejo escrito en forma cartesiana (también llamada rectangular), \(x + yi\), a su forma polar \(r\,e^{i\theta}\). La forma polar expresa el mismo número a partir de su distancia al origen (el módulo, \(r\)) y del ángulo que forma con el eje real positivo (el argumento, \(\theta\)). Trabajar en forma polar simplifica enormemente las multiplicaciones, las divisiones y el cálculo de potencias o raíces de números complejos frente a hacerlo en coordenadas rectangulares.
Cómo usarlo
Escribe un número complejo como 3+4i, -2-5i, 4 (real puro), 2i o -i (imaginario puro). Puedes incluir espacios, y una i o -i sola se interpreta como ±1. La calculadora extrae la parte real \(x\) y la parte imaginaria \(y\), y luego devuelve el módulo \(r\) y el argumento \(\theta\) en radianes, junto con la expresión polar completa.
La fórmula explicada
Para un número complejo \(x + yi\), el módulo es
$$\text{Complex Number} = x + yi \;=\; r\,e^{i\theta}$$$$\left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}(y,\,x) \end{aligned} \right.$$
es decir, \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) es la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto \((x, y)\). El argumento es \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\). Usamos a propósito la función \(\operatorname{atan2}\) de dos argumentos en lugar de \(\arctan(y/x)\): \(\operatorname{atan2}\) devuelve el ángulo en el cuadrante correcto y maneja sin problemas el caso \(x = 0\), ofreciendo un valor principal en el intervalo \((-\pi, \pi]\). Por convención, en el origen \((0, 0)\) se toma \(\theta = 0\).
Ejemplo resuelto
Tomemos 3+4i, de modo que \(x = 3\) e \(y = 4\). Entonces
El argumento es \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}927295218\) radianes (unos \(53{,}13°\)). Por tanto, la forma polar es \(5\,e^{0{,}927295218\,i}\).
Preguntas frecuentes
¿El ángulo está en grados o en radianes? El argumento \(\theta\) se expresa en radianes. Para convertirlo a grados, multiplícalo por \(180/\pi\).
¿Y si la parte real es negativa? Gracias a \(\operatorname{atan2}\), los números con parte real negativa caen correctamente en el segundo o el tercer cuadrante. Por ejemplo, \(-2-5i\) da \(r = \sqrt{29} \approx 5{,}385164807\) y \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1{,}951302704\) radianes.
¿Qué ocurre en el cero? Para \(0 + 0i\) el módulo es \(0\) y, por convención, el argumento se toma como \(0\), de modo que la forma polar es \(0\,e^{0\,i}\).
