यह कनवर्टर क्या करता है
यह टूल कार्तीय (जिसे आयताकार या rectangular रूप भी कहते हैं) में लिखी गई सम्मिश्र संख्या \(x + yi\) को ध्रुवीय रूप \(r\,e^{i\theta}\) में बदल देता है। ध्रुवीय रूप उसी संख्या को दो चीज़ों के ज़रिए दर्शाता है — मूल बिंदु से उसकी दूरी (मॉड्यूलस, \(r\)) और वह कोण जो वह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है (आर्गुमेंट या कोण, \(\theta\))। सम्मिश्र संख्याओं का गुणा, भाग, घात या मूल निकालते समय ध्रुवीय रूप, आयताकार निर्देशांकों की तुलना में कहीं ज़्यादा आसान साबित होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
कोई सम्मिश्र संख्या टाइप करें, जैसे 3+4i, -2-5i, 4 (शुद्ध वास्तविक), 2i या -i (शुद्ध काल्पनिक)। बीच में स्पेस देने की छूट है, और अकेले i या -i को ±1 के रूप में पढ़ा जाता है। कैलकुलेटर वास्तविक भाग \(x\) और काल्पनिक भाग \(y\) को अलग करता है, फिर मॉड्यूलस \(r\) और कोण \(\theta\) (रेडियन में) के साथ पूरा ध्रुवीय व्यंजक दिखाता है।
सूत्र की पूरी समझ
किसी सम्मिश्र संख्या \(x + yi\) के लिए मॉड्यूलस होता है $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ यानी मूल बिंदु से बिंदु \((x, y)\) तक की सीधी दूरी। कोण होता है $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\,x)$$ यहाँ हम जानबूझकर \(\arctan(y/x)\) की जगह दो-तर्क वाले \(\operatorname{atan2}\) का इस्तेमाल करते हैं: \(\operatorname{atan2}\) कोण को सही चतुर्थांश (quadrant) में लौटाता है और \(x = 0\) की स्थिति को भी सुरक्षित रूप से संभालता है, जिससे मुख्य मान \((-\pi, \pi]\) के परास में मिलता है। मूल बिंदु \((0, 0)\) पर परंपरागत मान \(\theta = 0\) माना जाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें 3+4i, यानी \(x = 3\) और \(y = 4\)। तब $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ कोण होगा $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.927295218 \text{ रेडियन (लगभग } 53.13^\circ\text{)}$$ इसलिए ध्रुवीय रूप है \(5\,e^{0.927295218\,i}\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कोण डिग्री में होता है या रेडियन में? कोण \(\theta\) रेडियन में दिखाया जाता है। इसे डिग्री में बदलने के लिए \(180/\pi\) से गुणा करें।
अगर वास्तविक भाग ऋणात्मक हो तो? \(\operatorname{atan2}\) के इस्तेमाल से ऋणात्मक वास्तविक भाग वाली संख्याएँ सही ढंग से दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में आती हैं। उदाहरण के लिए \(-2-5i\) से \(r = \sqrt{29} \approx 5.385164807\) और \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1.951302704\) रेडियन मिलता है।
शून्य पर क्या होता है? \(0 + 0i\) के लिए मॉड्यूलस \(0\) होता है और कोण परंपरागत रूप से \(0\) लिया जाता है, इसलिए ध्रुवीय रूप होता है \(0\,e^{0\,i}\)।
