सम्मिश्र संख्याओं का गुणन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

वास्तविक भाग (a)

काल्पनिक भाग (b)

वास्तविक भाग (c)

काल्पनिक भाग (d)

परिणाम

गुणनफल (a+bi)(c+di)

-5 + 14i

वास्तविक + काल्पनिक रूप

वास्तविक भाग (ac − bd)	-5
काल्पनिक भाग (ad + bc)	14

सम्मिश्र संख्याओं का गुणन कैलकुलेटर क्या है?

सम्मिश्र संख्या का रूप a + bi होता है, जहाँ a वास्तविक भाग (real part) है, b काल्पनिक भाग (imaginary part) है, और i काल्पनिक इकाई (imaginary unit) है जिसे \(i^2 = -1\) से परिभाषित किया जाता है। यह कैलकुलेटर दो सम्मिश्र संख्याओं \((a + bi)\) और \((c + di)\) का गुणा करता है और परिणाम मानक a + bi रूप में देता है। यह बीजगणित (algebra), इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग (फेज़र और प्रतिबाधा/impedance), सिग्नल प्रोसेसिंग और भौतिकी में बहुत काम आता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहली संख्या का वास्तविक और काल्पनिक भाग (a और b) तथा दूसरी संख्या का (c और d) दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत गुणनफल दिखा देता है, जिसे उसके वास्तविक और काल्पनिक हिस्सों में अलग-अलग दर्शाया जाता है। ऋणात्मक मान और दशमलव संख्याएँ भी पूरी तरह समर्थित हैं।

सूत्र को समझें

सम्मिश्र संख्याओं का गुणन वितरण (FOIL) विधि से किया जाता है:

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$

चूँकि \(i^2 = -1\) है, इसलिए पद \(bdi^2\) बदलकर \(-bd\) हो जाता है। वास्तविक और काल्पनिक पदों को अलग-अलग समूहित करने पर मिलता है:

$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

अर्थात गुणनफल का वास्तविक भाग \(ac - bd\) होता है और काल्पनिक भाग \(ad + bc\) होता है।

FOIL विधि (a+bi)(c+di) को चार पदों में विस्तृत करती है जो मिलकर गुणनफल बनाते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने पर सम्मिश्र तल में उनके परिमाण गुणा होते हैं और कोण जुड़ते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

\((3 + 2i)\) को \((1 + 4i)\) से गुणा करें:

• वास्तविक भाग: \(ac - bd = (3)(1) - (2)(4) = 3 - 8 = -5\)
• काल्पनिक भाग: \(ad + bc = (3)(4) + (2)(1) = 12 + 2 = 14\)

गुणनफल है −5 + 14i।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

i² किसके बराबर होता है? परिभाषा के अनुसार, \(i^2 = -1\) होता है, और यही कारण है कि काल्पनिक भागों का गुणनफल वास्तविक भाग में से घटता है।

क्या मैं किसी वास्तविक संख्या को सम्मिश्र संख्या से गुणा कर सकता हूँ? हाँ — बस b या d को 0 कर दें। उदाहरण के लिए, \((5 + 0i)\) को \((2 + 3i)\) से गुणा करने पर \(10 + 15i\) मिलता है।

यदि दोनों संख्याएँ पूर्णतः काल्पनिक हों तो क्या होगा? \((0 + 2i)\) को \((0 + 3i)\) से गुणा करने पर \(6i^2 = -6\) मिलता है, जो एक वास्तविक संख्या है।