複素数の掛け算計算機とは？
複素数は \(a + bi\) の形で表されます。ここで \(a\) は実部、\(b\) は虚部、\(i\) は \(i^2 = -1\) と定義される虚数単位です。この計算機は2つの複素数 \((a + bi)\) と \((c + di)\) を掛け合わせ、結果を標準的な \(a + bi\) の形で返します。代数の学習はもちろん、電気工学（フェーザや インピーダンス）、信号処理、物理学などの場面でも役立ちます。
使い方
1つ目の数の実部と虚部（\(a\) と \(b\)）、2つ目の数の実部と虚部（\(c\) と \(d\)）を入力してください。積が実部と虚部に分けて瞬時に表示されます。負の値や小数にも対応しています。
計算式の解説
複素数の掛け算には、分配法則（FOIL）を使います。
$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$
\(i^2 = -1\) なので、\(bdi^2\) の項は \(-bd\) になります。実部と虚部の項をまとめると、次のようになります。
$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
つまり、積の実部は \(ac - bd\)、虚部は \(ad + bc\) です。
計算例
\((3 + 2i)\) と \((1 + 4i)\) を掛けてみましょう。
- 実部：\(ac - bd = (3)(1) - (2)(4) = 3 - 8 = -5\)
- 虚部：\(ad + bc = (3)(4) + (2)(1) = 12 + 2 = 14\)
積は \(-5 + 14i\) です。
よくある質問
\(i^2\) はいくつですか？ 定義により \(i^2 = -1\) です。これこそが、虚部どうしの積が実部から引かれる理由です。
実数と複素数を掛けることはできますか？ はい。\(b\) または \(d\) を 0 にすればOKです。たとえば \((5 + 0i)\) と \((2 + 3i)\) を掛けると \(10 + 15i\) になります。
両方とも純虚数の場合はどうなりますか？ \((0 + 2i)\) と \((0 + 3i)\) を掛けると \(6i^2 = -6\) となり、結果は実数になります。
