複數乘法計算機

輸入計算

實部 (a)

虛部 (b)

實部 (c)

虛部 (d)

結果

乘積 (a+bi)(c+di)

-5 + 14i

實部 + 虛部形式

實部 (ac − bd)	-5
虛部 (ad + bc)	14

什麼是複數乘法計算機？

複數的標準形式為 a + bi，其中 a 是實部、b 是虛部，而 i 為虛數單位，定義為 i² = −1。本計算機能將兩個複數 (a + bi) 與 (c + di) 相乘，並以標準的 a + bi 形式回傳結果。無論是代數運算、電機工程（相量與阻抗）、訊號處理或物理問題，都能派上用場。

使用方法

分別輸入第一個複數的實部與虛部（a 與 b），以及第二個複數的實部與虛部（c 與 d）。計算機會立即顯示乘積，並將結果拆解為實部與虛部。負數與小數都完全支援。

公式說明

複數相乘可運用分配律（FOIL 展開法）：

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²

由於 i² = −1，因此 bdi² 這一項會變成 −bd。將實部與虛部分別合併後可得：

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

所以乘積的實部為 ac − bd，虛部為 ad + bc。

FOIL 法將 (a+bi)(c+di) 展開為四項，再合併成乘積。

複數相乘時，在複數平面上模相乘、輻角相加。

實際範例

計算 (3 + 2i) 乘以 (1 + 4i)：

• 實部：ac − bd = (3)(1) − (2)(4) = 3 − 8 = −5
• 虛部：ad + bc = (3)(4) + (2)(1) = 12 + 2 = 14

乘積為 −5 + 14i。

常見問題

i² 等於多少？根據定義，i² = −1，這正是為什麼虛部相乘的結果要從實部中扣除的原因。

可以用實數乘以複數嗎？可以——只要把 b 或 d 設為 0 即可。例如，(5 + 0i) 乘以 (2 + 3i) 會得到 10 + 15i。

如果兩個數都是純虛數呢？(0 + 2i) 乘以 (0 + 3i) 會得到 6i² = −6，結果是一個實數。