복소수 곱셈 계산기

계산 입력

실수부 (a)

허수부 (b)

실수부 (c)

허수부 (d)

결과

곱 (a+bi)(c+di)

-5 + 14i

실수부 + 허수부 형태

실수부 (ac − bd)	-5
허수부 (ad + bc)	14

복소수 곱셈 계산기란?

복소수는 \(a + bi\) 형태로 나타냅니다. 여기서 \(a\)는 실수부, \(b\)는 허수부이며, \(i\)는 \(i^2 = -1\)로 정의되는 허수 단위입니다. 이 계산기는 두 복소수 \((a + bi)\)와 \((c + di)\)를 곱한 뒤, 그 결과를 표준 형태인 \(a + bi\)로 돌려줍니다. 대수학은 물론 전기공학(페이저와 임피던스), 신호 처리, 물리학 등 다양한 분야에서 유용하게 쓰입니다.

사용 방법

첫 번째 복소수의 실수부와 허수부(\(a\), \(b\)), 그리고 두 번째 복소수의 실수부와 허수부(\(c\), \(d\))를 입력하세요. 계산기가 곱셈 결과를 실수부와 허수부로 나누어 즉시 보여줍니다. 음수와 소수도 모두 입력할 수 있습니다.

공식 풀이

복소수의 곱셈은 분배법칙(FOIL)을 이용합니다.

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$

\(i^2 = -1\)이므로 \(bdi^2\) 항은 \(-bd\)가 됩니다. 실수 항과 허수 항을 따로 묶으면 다음과 같습니다.

$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

따라서 곱의 실수부는 \(ac - bd\), 허수부는 \(ad + bc\)입니다.

FOIL 방법은 \((a+bi)(c+di)\)를 네 개의 항으로 전개한 뒤 합쳐 곱을 구합니다.

복소수의 곱셈은 복소평면에서 크기를 곱하고 각도를 더합니다.

계산 예시

\((3 + 2i)\)와 \((1 + 4i)\)를 곱해 봅시다.

• 실수부: $$ac - bd = (3)(1) - (2)(4) = 3 - 8 = -5$$
• 허수부: $$ad + bc = (3)(4) + (2)(1) = 12 + 2 = 14$$

곱은 \(-5 + 14i\)입니다.

자주 묻는 질문

\(i^2\)은 얼마인가요? 정의에 따라 \(i^2 = -1\)입니다. 바로 이 때문에 허수부끼리의 곱이 실수부에서 빼지는 것입니다.

실수와 복소수를 곱할 수도 있나요? 네, \(b\)나 \(d\)를 0으로 두면 됩니다. 예를 들어 \((5 + 0i)\)와 \((2 + 3i)\)를 곱하면 \(10 + 15i\)가 나옵니다.

두 수가 모두 순허수라면 어떻게 되나요? \((0 + 2i)\)와 \((0 + 3i)\)를 곱하면 \(6i^2 = -6\)이 되어 실수가 됩니다.