이 변환기로 할 수 있는 일
이 도구는 직교형식(직사각 형식이라고도 부릅니다)으로 표현된 복소수 \(x + yi\)를 극형식 \(r\,e^{i\theta}\)으로 변환합니다. 극형식은 같은 수를 원점으로부터의 거리(절댓값 \(r\))와 양의 실수축과 이루는 각도(편각 \(\theta\))로 나타냅니다. 복소수의 곱셈·나눗셈, 거듭제곱이나 거듭제곱근을 구할 때는 직교좌표보다 극형식을 쓰는 편이 훨씬 간단합니다.
사용 방법
3+4i, -2-5i, 4(순실수), 2i 또는 -i(순허수)처럼 복소수를 입력하세요. 공백을 넣어도 되고, i나 -i만 입력하면 ±1로 인식합니다. 계산기는 실수부 \(x\)와 허수부 \(y\)를 분리한 뒤 절댓값 \(r\), 편각 \(\theta\)(라디안), 그리고 완성된 극형식 표현을 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
복소수 \(x + yi\)에서 절댓값은 \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)로, 원점에서 점 \((x, y)\)까지의 직선 거리입니다. 편각은 \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\)로 구합니다. 여기서 \(\arctan(y/x)\) 대신 인자가 두 개인 \(\operatorname{atan2}\)를 일부러 사용하는데, \(\operatorname{atan2}\)는 올바른 사분면의 각도를 돌려주고 \(x = 0\)인 경우도 안전하게 처리해 \((-\pi, \pi]\) 범위의 주값을 줍니다. 원점 \((0, 0)\)에서의 관례적인 값은 \(\theta = 0\)입니다.
$$\begin{gathered} \text{Complex Number} = x + yi \;=\; r\,e^{i\theta} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}(y,\,x) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
예제로 익히기
3+4i를 예로 들면 \(x = 3\), \(y = 4\)입니다. 그러면 다음과 같이 됩니다.
편각은 \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.927295218\) 라디안(약 \(53.13°\))입니다. 따라서 극형식은 \(5\,e^{0.927295218i}\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
각도는 도(degree)인가요, 라디안인가요? 편각 \(\theta\)는 라디안으로 표시됩니다. 도 단위로 바꾸려면 \(180/\pi\)를 곱하면 됩니다.
실수부가 음수일 때는요? \(\operatorname{atan2}\)를 사용하기 때문에 실수부가 음수인 수도 2사분면이나 3사분면에 정확히 놓입니다. 예를 들어 \(-2-5i\)는 \(r = \sqrt{29} \approx 5.385164807\), \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1.951302704\) 라디안이 됩니다.
0일 때는 어떻게 되나요? \(0 + 0i\)의 경우 절댓값은 0이고 편각은 관례적으로 0으로 두므로 극형식은 \(0\,e^{0i}\)이 됩니다.
