ماذا يفعل هذا المحوّل
تحوّل هذه الأداة العدد المركّب المكتوب في الصورة الديكارتية (وتُسمّى كذلك الصورة المستطيلة) \(x + yi\) إلى الصورة القطبية \(r\,e^{i\theta}\). تعبّر الصورة القطبية عن العدد نفسه باستخدام بُعده عن نقطة الأصل (المقياس \(r\)) والزاوية التي يصنعها مع المحور الحقيقي الموجب (السعة \(\theta\)). وتجعل الصورة القطبية عمليات الضرب والقسمة ورفع الأعداد المركّبة إلى قوى أو استخراج جذورها أبسط بكثير من العمل في الإحداثيات المستطيلة.
طريقة الاستخدام
اكتب عددًا مركّبًا مثل 3+4i أو -2-5i أو 4 (عدد حقيقي بحت) أو 2i أو -i (عدد تخيّلي بحت). يُسمح بالمسافات، ويُقرأ الرمز i أو -i المجرّد على أنه \(\pm 1\). تستخرج الحاسبة الجزء الحقيقي \(x\) والجزء التخيّلي \(y\)، ثم تعيد المقياس \(r\) والسعة \(\theta\) بالراديان، إلى جانب التعبير القطبي الكامل.
شرح المعادلة
بالنسبة للعدد المركّب \(x + yi\) يكون المقياس \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)، وهو المسافة المستقيمة من نقطة الأصل إلى النقطة \((x, y)\). أمّا السعة فهي \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\). ونستخدم عمدًا الدالة ذات الوسيطين \(\operatorname{atan2}\) بدلًا من \(\arctan(y/x)\): إذ تعيد \(\operatorname{atan2}\) الزاوية في الربع الصحيح وتتعامل بأمان مع الحالة \(x = 0\)، فتعطي قيمة رئيسية في المجال \((-\pi, \pi]\). والقيمة المتعارف عليها عند نقطة الأصل \((0, 0)\) هي \(\theta = 0\).
$$ \text{Complex Number} = x + yi \;=\; r\,e^{i\theta} $$$$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}(y,\,x) \end{aligned} \right. $$
مثال محلول
لنأخذ 3+4i، حيث \(x = 3\) و \(y = 4\). عندئذٍ $$ r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ والسعة هي \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.927295218\) راديان (نحو \(53.13°\)). وبذلك تكون الصورة القطبية $$ 5\,e^{0.927295218\,i} $$
الأسئلة الشائعة
هل الزاوية بالدرجات أم بالراديان؟ تُعطى السعة \(\theta\) بالراديان. وللتحويل إلى الدرجات اضرب القيمة في \(180/\pi\).
وماذا عن الجزء الحقيقي السالب؟ استخدام \(\operatorname{atan2}\) يعني أنّ الأعداد ذات الجزء الحقيقي السالب تقع في الربع الثاني أو الثالث بشكل صحيح. فمثلًا \(-2-5i\) يعطي \(r = \sqrt{29} \approx 5.385164807\) و \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1.951302704\) راديان.
ماذا يحدث عند الصفر؟ بالنسبة إلى \(0 + 0i\) يكون المقياس \(0\) وتُؤخذ السعة اصطلاحًا مساوية للصفر، فتكون الصورة القطبية \(0\,e^{0\,i}\).
