ما هي حاسبة الصيغة القطبية؟
تحوّل هذه الأداة العدد المركب المكتوب بالصيغة الديكارتية (المستطيلة)، \(a + bi\)، إلى الصيغة القطبية. تعبّر الصيغة القطبية عن العدد نفسه باستخدام بُعده عن نقطة الأصل (المقدار \(r\)) والزاوية التي يصنعها مع المحور الحقيقي الموجب (السعة أو الوسيط \(\theta\)). وتُكتب على هيئة \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\)، أو بشكل مختصر \(r\angle\theta\).
كيفية الاستخدام
أدخل الجزء الحقيقي a والجزء التخيّلي b للعدد المركب، ثم اقرأ المقدار والزاوية مباشرة. تُعرض الزاوية بوحدتي الراديان والدرجات معًا، حتى تستخدم الوحدة التي تناسب مسألتك.
شرح الصيغة الرياضية
يُستمد المقدار مباشرة من نظرية فيثاغورس: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)، أي وتر المثلث القائم الذي ضلعاه \(a\) و\(b\). أما الزاوية فتعتمد على دالة قوس الظل ذات الوسيطين \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)، التي تعيد الزاوية الصحيحة ضمن المجال الكامل \((-\pi, \pi]\) من خلال مراعاة إشارتي \(a\) و\(b\) معًا. وهذا يتجنّب الالتباس في تحديد الرُّبع الذي يقع فيه العدد، وهو ما تعجز عنه دالة \(\arctan(b/a)\) البسيطة.
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Re}^{2} + \text{Im}^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Im},\, \text{Re}\right) \end{aligned}$$
مثال محلول
لنأخذ العدد المركب \(3 + 4i\). المقدار هو $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ والزاوية هي $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ راديان} \approx 53.13^\circ.$$ وبذلك يكون $$3 + 4i = 5(\cos 53.13^\circ + i\cdot\sin 53.13^\circ).$$
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من arctan؟ تفقد دالة \(\arctan\) البسيطة معلومات الإشارة، ولا تستطيع تحديد الرُّبع الذي تقع فيه النقطة. أما \(\operatorname{atan2}(b, a)\) فتستخدم كلا المدخلين وتعيد الزاوية الحقيقية.
ما هو مجال الزاوية؟ تقع الزاوية بالراديان ضمن المجال \((-\pi, \pi]\)، أي ما يعادل \((-180^\circ, 180^\circ]\). ويمكنك إضافة \(360^\circ\) (أو \(2\pi\)) للتعبير عنها كزاوية موجبة إذا فضّلت ذلك.
ماذا لو كان كلٌّ من a وb يساوي صفرًا؟ يكون المقدار 0 وتكون الزاوية غير معرّفة (ويُتعارَف على إعادتها صفرًا).
