पोलर फॉर्म कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी आयताकार (कार्तीय) रूप में लिखी सम्मिश्र संख्या \(a + bi\) को पोलर फॉर्म में बदल देता है। पोलर फॉर्म उसी संख्या को मूल बिंदु से उसकी दूरी (परिमाण \(r\)) और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाए गए कोण (कोणांक \(\theta\)) के ज़रिए दर्शाता है। इसे \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\) या संक्षेप में \(r\angle\theta\) के रूप में लिखा जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग \(a\) और काल्पनिक भाग \(b\) दर्ज करें, फिर परिमाण और कोण तुरंत पढ़ लें। कोण रेडियन और डिग्री — दोनों में दिखाया जाता है, ताकि आप अपनी ज़रूरत के मुताबिक किसी भी इकाई का इस्तेमाल कर सकें।
सूत्र की व्याख्या
परिमाण सीधे पाइथागोरस प्रमेय से आता है: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), यानी उस समकोण त्रिभुज का कर्ण जिसकी भुजाएँ \(a\) और \(b\) हैं। कोण के लिए दो-तर्क वाले आर्कटैन्जेंट का प्रयोग होता है, \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), जो \(a\) और \(b\) दोनों के चिह्नों को ध्यान में रखकर पूरी परास (−π, π] में सही कोण देता है। इससे सादे \(\arctan(b/a)\) में आने वाली चतुर्थांश-संबंधी अनिश्चितता टल जाती है।
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Re}^{2} + \text{Im}^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Im},\, \text{Re}\right) \end{aligned}$$
हल किया हुआ उदाहरण
सम्मिश्र संख्या \(3 + 4i\) को लीजिए। परिमाण है $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$ कोण है $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ रेडियन} \approx 53.13°$$ तो \(3 + 4i = 5(\cos 53.13° + i\cdot\sin 53.13°)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
arctan के बजाय atan2 क्यों इस्तेमाल करें? सादा arctan चिह्न की जानकारी खो देता है और यह नहीं बता पाता कि बिंदु किस चतुर्थांश में है। \(\operatorname{atan2}(b, a)\) दोनों इनपुट का उपयोग करके सही कोण लौटाता है।
कोण किस परास में होता है? रेडियन कोण (−π, π] में होता है, यानी (−180°, 180°] के बराबर। यदि आप धनात्मक कोण चाहें तो इसमें 360° (या 2π) जोड़ सकते हैं।
अगर a और b दोनों शून्य हों तो? परिमाण 0 होता है और कोण अपरिभाषित रहता है (परंपरा के अनुसार इसे 0 लौटाया जाता है)।
