वर्टेक्स फॉर्म कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर मानक रूप (standard form) में लिखे द्विघात समीकरण \(y = ax^2 + bx + c\) को वर्टेक्स फॉर्म \(y = a(x - h)^2 + k\) में बदल देता है। वर्टेक्स फॉर्म से परवलय (parabola) का मोड़ बिंदु यानी शीर्ष (vertex) और उसकी सममिति अक्ष तुरंत सामने आ जाती है। यह ग्राफ बनाने, ऑप्टिमाइज़ेशन की समस्याओं को हल करने तथा अधिकतम या न्यूनतम मान निकालने में बहुत काम आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने द्विघात समीकरण से तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। कैलकुलेटर शीर्ष के निर्देशांक \(h\) और \(k\) की गणना करता है और समीकरण को वर्टेक्स फॉर्म में फिर से लिख देता है। \(a\) का मान ज्यों का त्यों रहता है, क्योंकि यही तय करता है कि परवलय कितना चौड़ा है और वह ऊपर की ओर खुलता है (\(a > 0\)) या नीचे की ओर (\(a < 0\))।
सूत्र को समझें
\(y = ax^2 + bx + c\) पर वर्ग पूर्ण (completing the square) करने पर हमें \(y = a(x - h)^2 + k\) मिलता है। क्षैतिज खिसकाव \(h = -b / (2a)\) होता है — यही सममिति अक्ष का भी व्यंजक है। ऊर्ध्वाधर स्थिति \(k = c - b^2 / (4a)\) होती है। \(h\) को वापस मूल समीकरण में रखने पर वही \(k\) मिलता है, इसलिए शीर्ष ठीक \((h, k)\) पर ही होता है।
$$y = a\,(x - h)^2 + k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{b}{2\,a} \\ k &= c - \dfrac{b^2}{4\,a} \end{aligned} \right.$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(y = x^2 - 4x + 3\), यानी \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)। तब $$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ और $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ तो वर्टेक्स फॉर्म होगा \(y = (x - 2)^2 - 1\), जिसका शीर्ष \((2, -1)\) पर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर \(a = 0\) हो तो? ऐसी स्थिति में समीकरण रैखिक (linear) हो जाता है, द्विघात नहीं, और उसका कोई शीर्ष नहीं होता — इसलिए \(a\) के लिए शून्य से भिन्न कोई मान दर्ज करें।
क्या \(h\) ही सममिति अक्ष है? हाँ। ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = h\) ही परवलय की सममिति अक्ष होती है।
क्या \(a\) ऋणात्मक हो सकता है? बिल्कुल। ऋणात्मक \(a\) का मतलब है कि परवलय नीचे की ओर खुलता है और तब शीर्ष एक अधिकतम (maximum) बिंदु होता है।
