परवलय का शीर्ष क्या होता है?
मानक रूप \(y = ax^2 + bx + c\) में लिखा हर द्विघात फलन ग्राफ़ पर एक परवलय (parabola) बनाता है। इस परवलय का शीर्ष (vertex) उसका मोड़ बिंदु यानी turning point होता है — अगर परवलय ऊपर की ओर खुलता है (\(a > 0\)) तो यह सबसे निचला बिंदु होता है, और अगर नीचे की ओर खुलता है (\(a < 0\)) तो यह सबसे ऊँचा बिंदु होता है। यह कैलकुलेटर गुणांकों a, b और c से शीर्ष के निर्देशांक (h, k) निकालता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने द्विघात के तीनों गुणांक डालें: a (x² का गुणांक), b (x का गुणांक) और c (अचर पद यानी constant)। कैलकुलेटर शीर्ष बिंदु (h, k) देगा और समीकरण को शीर्ष रूप (vertex form) \(y = a(x - h)^2 + k\) में फिर से लिख देगा। ध्यान दें कि a शून्य नहीं हो सकता, वरना समीकरण परवलय न रहकर एक रैखिक (linear) समीकरण बन जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
शीर्ष का x-निर्देशांक सममिति अक्ष (axis of symmetry) पर, दोनों मूलों के ठीक बीचोबीच स्थित होता है: \(h = -b / (2a)\)। इसे मूल समीकरण में वापस रखने पर y-निर्देशांक मिलता है, जो सरल होकर \(k = c - b^2 / (4a)\) बन जाता है। मिलकर (h, k) शीर्ष की सटीक स्थिति बताते हैं।
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(y = x^2 - 4x + 3\), यानी \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)। तब $$h = \frac{-(-4)}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ और $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ इसलिए शीर्ष \((2,\,-1)\) है, और शीर्ष रूप \(y = (x - 2)^2 - 1\) होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या शीर्ष अधिकतम (maximum) होता है या न्यूनतम (minimum)? अगर a धनात्मक है तो शीर्ष न्यूनतम बिंदु होता है; अगर a ऋणात्मक है तो यह अधिकतम बिंदु होता है।
सममिति अक्ष (axis of symmetry) क्या है? यह ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = h\) होती है, जो शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होती है।
a शून्य क्यों नहीं हो सकता? अगर \(a = 0\) हो जाए तो ax² पद गायब हो जाता है और ग्राफ़ एक सीधी रेखा बन जाता है, जिसका कोई शीर्ष नहीं होता।
