काई-स्क्वायर टेस्ट स्टैटिस्टिक क्या है?
काई-स्क्वायर (χ²) टेस्ट स्टैटिस्टिक यह मापता है कि आपकी प्रेक्षित (observed) बारंबारताएँ, शून्य परिकल्पना (null hypothesis) के अंतर्गत अपेक्षित (expected) बारंबारताओं से कितना हटकर हैं। यह काई-स्क्वायर गुडनेस-ऑफ़-फ़िट टेस्ट और काई-स्क्वायर स्वतंत्रता परीक्षण (test of independence) दोनों की बुनियाद है। χ² का मान जितना बड़ा होगा, प्रेक्षित और अपेक्षित आँकड़ों के बीच उतना ही अधिक अंतर माना जाता है — और यह शून्य परिकल्पना के विरुद्ध उतना ही मज़बूत प्रमाण देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी प्रेक्षित बारंबारताओं को कॉमा से अलग करते हुए सूची के रूप में दर्ज करें, फिर उसी क्रम में मिलती-जुलती अपेक्षित बारंबारताएँ डालें। कैलकुलेटर हर प्रेक्षित मान को उसके संगत अपेक्षित मान के साथ जोड़ता है, प्रत्येक श्रेणी का योगदान निकालता है और उन्हें जोड़कर कुल χ² स्टैटिस्टिक तैयार करता है। साथ ही यह श्रेणियों की संख्या (\(k\)) और डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम (\(k - 1\)) भी बताता है, जिनकी मदद से आप काई-स्क्वायर वितरण तालिका में क्रिटिकल वैल्यू या p-वैल्यू देख सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
स्टैटिस्टिक का सूत्र है $$\chi^{2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{\left(\text{O}_i - \text{E}_i\right)^{2}}{\text{E}_i}$$ हर श्रेणी के लिए, प्रेक्षित गिनती में से अपेक्षित गिनती घटाएँ, परिणाम का वर्ग करें ताकि धनात्मक और ऋणात्मक अंतर एक-दूसरे को काट न दें, और फिर विचलन को सामान्य पैमाने पर लाने के लिए उसे अपेक्षित गिनती से विभाजित करें। इन सभी श्रेणी-योगदानों को जोड़ने पर टेस्ट स्टैटिस्टिक मिलता है। ध्यान रहे कि प्रत्येक अपेक्षित बारंबारता शून्य से अधिक होनी चाहिए; शून्य अपेक्षित मान वाली श्रेणियों को छोड़ दिया जाता है ताकि शून्य से विभाजन न हो।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए एक पासा 100 बार फेंका जाता है और प्रेक्षित गिनतियाँ 30, 20, 25, 25 आती हैं, जबकि हर श्रेणी की अपेक्षित गिनती बराबर यानी 25 है। तब योगदान इस प्रकार होंगे: $$\frac{(30-25)^{2}}{25} = 1,\quad \frac{(20-25)^{2}}{25} = 1,\quad \frac{(25-25)^{2}}{25} = 0,\quad \frac{(25-25)^{2}}{25} = 0$$ इन्हें जोड़ने पर \(\chi^{2} = 2.0\) मिलता है, जिसमें 4 श्रेणियाँ और 3 डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
χ² का अधिक मान क्या दर्शाता है? यह प्रेक्षित और अपेक्षित आँकड़ों के बीच बड़े अंतर का संकेत देता है, जिससे यह आशंका बनती है कि शून्य परिकल्पना गलत हो सकती है।
p-वैल्यू कैसे प्राप्त करें? बताई गई डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम का उपयोग करते हुए χ² स्टैटिस्टिक की तुलना काई-स्क्वायर वितरण से करें — चाहे तालिका के ज़रिए या किसी सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर के ज़रिए।
क्या दोनों सूचियों की लंबाई बराबर होनी चाहिए? हाँ — हर प्रेक्षित मान का एक संगत अपेक्षित मान होना चाहिए। कैलकुलेटर इन्हें क्रम के अनुसार जोड़ता है।
