카이제곱 검정통계량이란?
카이제곱(χ²) 검정통계량은 실제로 관측된 빈도가 귀무가설 아래에서 기대되는 빈도와 얼마나 동떨어져 있는지를 수치로 나타낸 값입니다. 카이제곱 적합도 검정과 독립성 검정의 핵심 지표가 되며, χ² 값이 클수록 관측값과 기대값의 차이가 크다는 뜻이어서 귀무가설을 기각할 근거가 강해집니다.
계산기 사용 방법
관측빈도를 쉼표로 구분해 입력한 다음, 같은 순서로 짝이 맞도록 기대빈도를 입력하세요. 계산기는 각 관측값을 대응되는 기대값과 짝지어 범주별 기여도를 구한 뒤, 이를 모두 더해 전체 χ² 통계량을 산출합니다. 또한 범주 수(\(k\))와 자유도(\(k - 1\))도 함께 알려 주므로, 이 값을 활용해 카이제곱 분포표에서 임계값이나 p-값을 찾아볼 수 있습니다.
공식 풀이
통계량은 다음과 같이 정의됩니다.
$$\chi^{2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{\left(\text{O}_i - \text{E}_i\right)^{2}}{\text{E}_i}$$
각 범주마다 관측 빈도에서 기대 빈도를 빼고, 양수와 음수 차이가 서로 상쇄되지 않도록 그 결과를 제곱한 다음, 기대 빈도로 나누어 편차의 크기를 보정합니다. 이렇게 구한 범주별 값을 모두 합하면 검정통계량이 됩니다. 단, 모든 기대 빈도는 0보다 커야 하며, 기대값이 0인 범주는 0으로 나누는 오류를 피하기 위해 계산에서 제외됩니다.
예제로 보기
주사위를 100번 던졌더니 각 눈의 관측 횟수가 30, 20, 25, 25였고, 기대 횟수는 각각 25로 동일하다고 합시다. 범주별 기여도는 \(\frac{(30-25)^{2}}{25} = 1\), \(\frac{(20-25)^{2}}{25} = 1\), \(\frac{(25-25)^{2}}{25} = 0\), \(\frac{(25-25)^{2}}{25} = 0\) 입니다. 이를 모두 더하면 \(\chi^{2} = 2.0\)이며, 범주 수는 4개, 자유도는 3이 됩니다.
자주 묻는 질문
χ² 값이 크면 무슨 의미인가요? 관측 데이터와 기대 데이터의 차이가 크다는 신호이며, 귀무가설이 틀렸을 가능성을 시사합니다.
p-값은 어떻게 구하나요? 산출된 자유도를 이용해 χ² 통계량을 카이제곱 분포와 비교하면 됩니다. 분포표나 통계 소프트웨어를 활용하세요.
두 목록의 개수가 같아야 하나요? 네. 모든 관측값에는 짝이 맞는 기대값이 있어야 합니다. 계산기는 입력한 순서대로 두 값을 짝지어 처리합니다.
