소수란 무엇인가요?
소수(素數, prime number)는 1보다 큰 정수 중에서 약수가 정확히 두 개, 즉 1과 자기 자신만을 가지는 수를 말합니다. 2, 3, 5, 7, 11, 13 등이 대표적인 예입니다. 1보다 큰 정수 중에서 소수가 아닌 수는 합성수라고 부르는데, 더 작은 정수들의 곱으로 나타낼 수 있기 때문입니다. 한편 0과 1은 약속에 따라 소수도 합성수도 아닙니다. 이 도구는 모든 정수에 적용할 수 있는 보편적인 수학 계산기로, 특정 국가나 통화와는 전혀 관계가 없습니다.
계산기 사용 방법
입력란에 원하는 정수를 입력하고 실행해 보세요. 계산기는 그 수가 소수인지 합성수인지 즉시 알려 주고, 전체 약수의 개수를 세어 주며, 합성수라면 1보다 큰 가장 작은 약수까지 함께 보여 줍니다. 수학 숙제, 암호학 공부, 혹은 단순한 호기심을 해결할 때 유용하게 쓸 수 있습니다.
공식 자세히 보기
n이 소수인지 판별하려면, 2부터 n의 제곱근까지의 범위에서 약수 d를 찾기만 하면 됩니다. 이 범위 안에서 n을 나누어떨어지게 하는 d가 하나라도 있으면 n은 합성수이므로 그 자리에서 검사를 멈춥니다. 반대로 √n까지 가도 약수를 찾지 못하면 n은 소수입니다.
$$\text{Prime} \iff \text{N} \geq 2 \;\text{and}\; \nexists\, d \in \left[2, \left\lfloor \sqrt{\text{N}} \right\rfloor\right] : \text{N} \bmod d = 0$$
\(\sqrt{n}\)까지만 확인하는 이유는, \(n = a \times b\)라면 두 인수 중 적어도 하나는 반드시 \(\sqrt{n}\) 이하이기 때문입니다. 그래서 그 이상까지 살펴볼 필요가 없습니다. 덕분에 큰 수라도 빠르게 판별할 수 있습니다.
예제 풀이
\(n = 97\)을 살펴봅시다. 97의 제곱근은 약 \(9.85\)이므로, 97이 홀수라는 점에서 2를 제외하면 3, 5, 7, 9를 약수 후보로 검사하면 됩니다. 이 중 어느 것도 97을 나누어떨어지게 하지 못하므로, 97은 제곱근 이하에서 약수를 전혀 가지지 않습니다. 따라서 97은 소수이며 약수는 정확히 2개입니다.
자주 묻는 질문
1은 소수인가요? 아닙니다. 소수는 서로 다른 약수가 정확히 두 개여야 하는데, 1은 약수가 자기 자신 하나뿐이므로 소수도 합성수도 아닙니다.
2는 소수인가요? 네, 맞습니다. 2는 유일한 짝수 소수입니다. 다른 모든 짝수는 2로 나누어떨어지므로 합성수입니다.
왜 제곱근까지만 확인하나요? 약수는 곱하면 n이 되는 짝을 이루기 때문입니다. 만약 두 인수가 모두 \(\sqrt{n}\)보다 크다면 그 곱이 n을 넘어 버려 모순이 생깁니다. 따라서 어떤 약수 짝이든 더 작은 쪽은 항상 \(\sqrt{n}\) 이하입니다.
