Số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có đúng hai ước số khác nhau: 1 và chính nó. Ví dụ điển hình là 2, 3, 5, 7, 11 và 13. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 mà không phải số nguyên tố thì được gọi là hợp số, vì nó có thể phân tích thành tích của những số nhỏ hơn. Theo quy ước, 0 và 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số. Công cụ này áp dụng cho mọi số nguyên và là một máy tính toán học mang tính phổ quát — không phụ thuộc vào bất kỳ quốc gia hay đơn vị tiền tệ nào.
Cách sử dụng công cụ này
Bạn chỉ cần nhập một số nguyên bất kỳ vào ô và bấm xác nhận. Công cụ sẽ ngay lập tức cho biết số đó là số nguyên tố hay hợp số, đếm tổng số ước của nó, và — nếu là hợp số — hiển thị ước nhỏ nhất lớn hơn 1. Đây là trợ thủ đắc lực khi bạn làm bài tập toán, nghiên cứu mật mã học, hay đơn giản là thỏa mãn trí tò mò.
Giải thích công thức
Để kiểm tra xem n có phải số nguyên tố hay không, ta chỉ cần tìm một ước d nằm trong khoảng từ 2 đến căn bậc hai của n. Nếu có một số d như vậy chia hết cho n (không dư), thì n là hợp số và ta dừng lại. Còn nếu xét hết tới \(\sqrt{n}\) mà không tìm thấy ước nào, thì n là số nguyên tố.
$$\text{Prime} \iff \text{N} \geq 2 \;\text{and}\; \nexists\, d \in \left[2, \left\lfloor \sqrt{\text{N}} \right\rfloor\right] : \text{N} \bmod d = 0$$
Lý do ta chỉ cần kiểm tra đến \(\sqrt{n}\) là vì nếu \(n = a \times b\) thì ít nhất một trong hai thừa số phải \(\leq \sqrt{n}\) — nên việc tìm kiếm xa hơn là không cần thiết. Nhờ đó, phép kiểm tra rất nhanh ngay cả với những số lớn.
Ví dụ minh họa
Lấy \(n = 97\). Căn bậc hai của 97 xấp xỉ \(\sqrt{97} \approx 9{,}85\), nên ta lần lượt thử các ước 3, 5, 7, 9 (sau khi đã loại 2 vì 97 là số lẻ). Không số nào trong đó chia hết cho 97, vậy 97 không có ước nào nằm trong khoảng tới căn bậc hai của nó. Do đó 97 là số nguyên tố với đúng 2 ước.
Câu hỏi thường gặp
1 có phải là số nguyên tố không? Không. Số nguyên tố phải có đúng hai ước khác nhau, nhưng 1 chỉ có một ước (là chính nó), nên nó không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số.
2 có phải số nguyên tố không? Có — 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số chẵn khác đều chia hết cho 2 nên đều là hợp số.
Vì sao chỉ cần kiểm tra đến căn bậc hai? Vì các ước luôn đi theo cặp có tích bằng n. Nếu cả hai thừa số đều lớn hơn \(\sqrt{n}\) thì tích của chúng sẽ vượt quá n — điều không thể xảy ra — nên thừa số nhỏ hơn trong mỗi cặp luôn \(\leq \sqrt{n}\).
