अभाज्य संख्या क्या होती है?
अभाज्य संख्या (prime number) 1 से बड़ी ऐसी पूर्ण संख्या होती है जिसके ठीक दो ही अलग-अलग भाजक होते हैं — 1 और स्वयं वह संख्या। उदाहरण के तौर पर 2, 3, 5, 7, 11 और 13 अभाज्य संख्याएँ हैं। 1 से बड़ी कोई भी संख्या जो अभाज्य नहीं है, उसे भाज्य (composite) कहते हैं, क्योंकि उसे छोटी पूर्ण संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। प्रचलित नियम के अनुसार 0 और 1 न तो अभाज्य हैं और न ही भाज्य। यह टूल किसी भी पूर्ण संख्या पर काम करता है और एक सार्वभौमिक गणितीय कैलकुलेटर है — इसका किसी देश या मुद्रा से कोई संबंध नहीं है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
बॉक्स में कोई भी पूर्ण संख्या लिखें और सबमिट करें। कैलकुलेटर तुरंत बता देगा कि वह संख्या अभाज्य है या भाज्य, उसके कुल भाजक गिनेगा और — यदि वह भाज्य है — तो 1 से बड़ा उसका सबसे छोटा गुणनखंड दिखाएगा। यह गणित के होमवर्क, क्रिप्टोग्राफी की पढ़ाई, या यूँ ही जिज्ञासा शांत करने के लिए बेहद काम का है।
सूत्र की व्याख्या
यह जाँचने के लिए कि n अभाज्य है या नहीं, हमें केवल 2 से लेकर n के वर्गमूल तक के बीच कोई भाजक d ढूँढना होता है। यदि ऐसा कोई d, n को बिना शेष के विभाजित कर देता है, तो n भाज्य है और हम वहीं रुक जाते हैं। यदि √n तक पहुँचने पर भी कोई भाजक नहीं मिलता, तो n अभाज्य है। हम केवल √n तक ही इसलिए जाँचते हैं क्योंकि अगर n = a × b है, तो कम-से-कम एक गुणनखंड ≤ √n होगा ही — इसलिए इससे आगे खोजने की कोई ज़रूरत नहीं। यही वजह है कि यह जाँच बड़ी संख्याओं के लिए भी तेज़ रहती है।
$$\text{Prime} \iff \text{N} \geq 2 \;\text{and}\; \nexists\, d \in \left[2, \left\lfloor \sqrt{\text{N}} \right\rfloor\right] : \text{N} \bmod d = 0$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 97\)। 97 का वर्गमूल लगभग \(\sqrt{97} \approx 9.85\) है, इसलिए हम भाजक 3, 5, 7, 9 की जाँच करते हैं (97 विषम है, इसलिए 2 को पहले ही छोड़ देते हैं)। इनमें से कोई भी 97 को पूरी तरह विभाजित नहीं करता, यानी 97 के वर्गमूल तक कोई गुणनखंड नहीं है। अतः 97 एक अभाज्य संख्या है जिसके ठीक 2 भाजक हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या 1 अभाज्य संख्या है? नहीं। अभाज्य संख्या के ठीक दो अलग-अलग भाजक होने चाहिए, पर 1 का केवल एक ही भाजक (स्वयं) होता है, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न भाज्य।
क्या 2 अभाज्य है? हाँ — 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। बाकी हर सम संख्या 2 से विभाज्य होती है और इसलिए भाज्य होती है।
केवल वर्गमूल तक ही क्यों जाँचें? क्योंकि भाजक हमेशा जोड़ों में आते हैं जिनका गुणनफल n होता है। अगर दोनों गुणनखंड √n से बड़े होते, तो उनका गुणनफल n से ज़्यादा हो जाता — जो असंभव है। इसलिए किसी भी जोड़े का छोटा गुणनखंड हमेशा ≤ √n रहता है।
