素数とは？
素数とは、1より大きい整数のうち、約数が「1」と「その数自身」のちょうど2つだけである数のことです。例えば 2、3、5、7、11、13 などが素数にあたります。1より大きい整数で素数ではないものは合成数と呼ばれ、より小さい整数の積に分解できます。なお、0 と 1 は慣例として素数でも合成数でもありません。本ツールはあらゆる整数に対応する世界共通の数学計算ツールで、特定の国や通貨に依存しません。
このツールの使い方
入力欄に任意の整数を入力して実行するだけ。素数か合成数かを瞬時に判定し、約数の総数を数え上げます。さらに合成数の場合は、1より大きい最小の約数も表示します。数学の宿題、暗号理論の学習、ちょっとした好奇心を満たすのにも便利です。
計算の仕組み
n が素数かどうかを調べるには、2 から n の平方根までの範囲にある約数 d を探すだけで十分です。この範囲に n を割り切る d が1つでも見つかれば、n は合成数なのでそこで判定を終えます。√n まで調べても約数が見つからなければ、その数は素数です。√n までしか調べないのは、n = a × b と表せる場合、少なくとも一方の因数は必ず √n 以下になるためで、それ以上探す必要がないからです。このおかげで、大きな数でも高速に判定できます。
$$\text{Prime} \iff \text{N} \geq 2 \;\text{and}\; \nexists\, d \in \left[2, \left\lfloor \sqrt{\text{N}} \right\rfloor\right] : \text{N} \bmod d = 0$$
計算例
\(n = 97\) で考えてみましょう。97 の平方根は約 9.85 なので、まず奇数であることから 2 を除外し、3、5、7、9 を約数として試します。いずれも 97 を割り切れないため、平方根までの範囲に約数は存在しません。したがって97 は素数であり、約数はちょうど2つです。
よくある質問
1 は素数ですか？ いいえ。素数は異なる約数をちょうど2つ持つ必要がありますが、1 は約数が（自分自身の）1つしかないため、素数でも合成数でもありません。
2 は素数ですか？ はい。2 は唯一の偶数の素数です。他のすべての偶数は2で割り切れるため、合成数になります。
なぜ平方根までしか調べないのですか？ 約数は、掛け合わせると n になるペアで現れるからです。仮に両方の因数が √n より大きいとすると、その積は n を超えてしまい矛盾します。つまり、どのペアでも小さい方の因数は必ず √n 以下になるのです。
