Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Parmi les exemples figurent 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Tout entier supérieur à 1 qui n'est pas premier est dit composé, car on peut le décomposer en un produit d'entiers plus petits. Par convention, 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Cet outil fonctionne avec n'importe quel entier : c'est un calculateur mathématique universel, indépendant de tout pays ou de toute devise.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez un entier dans le champ prévu, puis validez. Le calculateur indique aussitôt si le nombre est premier ou composé, dénombre l'ensemble de ses diviseurs et, s'il est composé, affiche son plus petit facteur supérieur à 1. Pratique pour les devoirs de mathématiques, l'étude de la cryptographie ou simplement pour assouvir une curiosité.
La formule expliquée
Pour vérifier si n est premier, il suffit de chercher un diviseur d compris entre 2 et la racine carrée de n. Si l'un de ces d divise n sans reste, alors n est composé et l'on s'arrête. Si l'on atteint √n sans trouver de diviseur, n est premier. On ne teste que jusqu'à √n car si n = a × b, l'un au moins des deux facteurs est forcément ≤ √n — inutile donc de chercher au-delà. Ce raccourci rend le test rapide, même pour de grands nombres.
$$\text{Premier} \iff \text{N} \geq 2 \;\text{et}\; \nexists\, d \in \left[2, \left\lfloor \sqrt{\text{N}} \right\rfloor\right] : \text{N} \bmod d = 0$$
Exemple concret
Prenons \(n = 97\). La racine carrée de 97 vaut environ \(\sqrt{97} \approx 9{,}85\) : on teste donc les diviseurs 3, 5, 7 et 9 (après avoir écarté 2, puisque 97 est impair). Aucun d'eux ne divise 97 de façon exacte ; 97 n'a donc aucun facteur inférieur ou égal à sa racine carrée. Par conséquent, 97 est premier et possède exactement 2 diviseurs.
FAQ
1 est-il un nombre premier ? Non. Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts, or 1 n'en a qu'un seul (lui-même) : il n'est donc ni premier ni composé.
2 est-il premier ? Oui — 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et donc composés.
Pourquoi ne tester que jusqu'à la racine carrée ? Parce que les diviseurs vont par paires dont le produit vaut n. Si les deux facteurs d'une paire étaient supérieurs à \(\sqrt{n}\), leur produit dépasserait n, ce qui est impossible : le plus petit facteur de chaque paire est donc toujours \(\leq \sqrt{n}\).
