Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Parmi les exemples figurent 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Les entiers supérieurs à 1 qui ne sont pas premiers sont dits composés : on peut les écrire comme le produit d'entiers plus petits. Ce calculateur vous indique immédiatement si le nombre saisi est premier et, dans le cas contraire, vous révèle le plus petit facteur qui le divise.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez n'importe quel entier (0 ou plus) dans le champ prévu, puis validez. L'encadré du résultat affiche OUI si le nombre est premier, ou NON s'il est composé. Lorsque le nombre est composé, le tableau dévoile le plus petit diviseur supérieur à 1, ce qui vous donne un point de départ pour une factorisation complète.
La formule expliquée
Pour tester efficacement la primalité, il suffit de vérifier les diviseurs jusqu'à la racine carrée de \(n\). En effet, si \(n\) possède un facteur supérieur à sa racine carrée, il possède forcément un facteur correspondant inférieur à cette racine : aller jusque-là suffit donc. Formellement, \(n\) est premier lorsque :
$$n \text{ is prime} \iff n > 1 \text{ and } n \bmod i \neq 0 \;\; \forall\, i \in [2, \sqrt{n}]$$c'est-à-dire \(n > 1\) et que \(n \bmod i \neq 0\) pour tout entier \(i\) compris entre 2 et \(\lfloor\sqrt{n}\rfloor\) :
$$n \bmod i \neq 0 \quad \forall\, i \in \left[2, \lfloor\sqrt{n}\rfloor\right]$$Cela réduit considérablement les calculs par rapport au test de tous les nombres inférieurs à \(n\).
Exemple concret
Prenons \(n = 97\). Sa racine carrée vaut environ \(9{,}85\) : on teste donc les diviseurs 2, 3, 5, 7 et 9. Aucun ne divise 97 sans reste (97 est impair et n'est divisible ni par 3, ni par 5, ni par 7) : 97 est donc premier. Prenons maintenant \(n = 91\). En testant 2, 3, 5 puis 7, on constate que \(91 \div 7 = 13\) exactement : 91 est donc composé, avec pour plus petit diviseur 7.
FAQ
Le nombre 1 est-il premier ? Non. Par définition, un nombre premier doit être supérieur à 1 ; 1 n'est donc ni premier ni composé.
Le nombre 2 est-il premier ? Oui. 2 est le seul nombre premier pair ; tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.
Pourquoi tester uniquement jusqu'à la racine carrée ? Les diviseurs vont par paires dont le produit vaut \(n\). Si les deux étaient supérieurs à \(\sqrt{n}\), leur produit dépasserait \(n\), ce qui est impossible : au moins un diviseur de chaque paire est donc \(\leq \sqrt{n}\).
