¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos distintos: el 1 y él mismo. Algunos ejemplos son el 2, el 3, el 5, el 7, el 11 y el 13. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos, ya que pueden expresarse como el producto de números enteros más pequeños. Esta calculadora te dice al instante si el número que introduces es primo y, en caso de que no lo sea, te muestra el factor más pequeño que lo divide.
Cómo usar la calculadora
Escribe cualquier número entero (igual o mayor que 0) en el campo de entrada y pulsa para calcular. El recuadro de resultado mostrará SÍ si el número es primo o NO si es compuesto. Cuando el número es compuesto, la tabla revela el divisor más pequeño mayor que 1, lo que te ayuda a empezar a descomponerlo en factores.
La fórmula explicada
Para comprobar la primalidad de forma eficiente, solo necesitas probar los divisores hasta la raíz cuadrada de \(n\). Si \(n\) tuviera un factor mayor que su raíz cuadrada, también tendría otro factor correspondiente menor que ella, así que llegar hasta ahí es suficiente. Dicho de forma rigurosa, \(n\) es primo cuando:
$$n \text{ es primo} \iff n > 1 \text{ y } n \bmod i \neq 0 \;\; \forall\, i \in [2, \sqrt{n}]$$Esto reduce enormemente el trabajo frente a probar todos los números menores que \(n\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(n = 97\). Su raíz cuadrada es aproximadamente \(9{,}85\), así que probamos los divisores 2, 3, 5, 7 y 9. Ninguno de ellos divide a 97 de forma exacta (97 es impar y no es divisible entre 3, 5 ni 7), por lo que 97 es primo. Ahora tomemos \(n = 91\). Al probar el 2, el 3, el 5 y luego el 7, descubrimos que $$91 \div 7 = 13$$ exactamente, así que 91 es compuesto y su divisor más pequeño es 7.
Preguntas frecuentes
¿El 1 es un número primo? No. Por definición, un número primo debe ser mayor que 1, así que el 1 no es ni primo ni compuesto.
¿El 2 es un número primo? Sí. El 2 es el único número primo par; todos los demás números pares son divisibles entre 2.
¿Por qué basta con probar hasta la raíz cuadrada? Los divisores aparecen en parejas cuyo producto es \(n\). Si ambos fueran mayores que \(\sqrt{n}\), su producto superaría a \(n\), lo cual es imposible; por tanto, al menos uno de los dos divisores de cada pareja es \(\leq \sqrt{n}\).
