Qu'est-ce que le calculateur de nombres premiers entre eux ?
Deux entiers sont dits premiers entre eux (on parle aussi de nombres coprimes) lorsque le seul entier positif qui les divise tous les deux est 1. Autrement dit, leur plus grand commun diviseur (PGCD) vaut exactement 1. Ce calculateur prend deux nombres entiers et vous indique instantanément s'ils sont premiers entre eux, en affichant également leur PGCD.
Comment l'utiliser
Saisissez vos deux entiers dans les champs a et b, puis validez. L'outil calcule \(\gcd(a, b)\) à l'aide de l'algorithme d'Euclide. Si le PGCD est égal à 1, les nombres sont premiers entre eux ; sinon, ils possèdent un facteur commun et ne sont pas coprimes. Les signes négatifs sont ignorés, car la coprimalité ne dépend que des valeurs absolues.
La formule expliquée
L'algorithme d'Euclide remplace successivement le couple \((a, b)\) par \((b, a \bmod b)\) jusqu'à ce que la seconde valeur devienne 0. La dernière valeur non nulle correspond au PGCD. Les nombres sont coprimes précisément lorsque ce PGCD est égal à 1 :
$$\text{Coprime} \iff \gcd\left(a,\ b\right) = 1$$Par exemple, 8 et 15 ne partagent aucun facteur premier : leur PGCD vaut 1 et ils sont donc premiers entre eux, même si aucun des deux n'est lui-même un nombre premier.
Exemple concret
Prenons \(a = 12\) et \(b = 35\). Les facteurs de 12 sont 2 et 3 ; ceux de 35 sont 5 et 7. Ils n'ont aucun facteur premier en commun, donc \(\gcd(12, 35) = 1\). Par conséquent, 12 et 35 sont premiers entre eux. À l'inverse, 12 et 18 partagent le facteur 6 : \(\gcd = 6\), et ils ne sont donc pas coprimes.
Questions fréquentes
Les nombres coprimes doivent-ils être des nombres premiers ? Non. Être coprimes signifie qu'ils ne partagent aucun facteur commun supérieur à 1 ; les nombres eux-mêmes n'ont pas besoin d'être premiers (par exemple, 8 et 9).
1 est-il premier avec tous les nombres ? Oui. \(\gcd(1, n) = 1\) pour tout entier \(n\) : 1 est donc premier avec n'importe quel entier.
Deux nombres pairs peuvent-ils être coprimes ? Non. Deux nombres pairs partagent toujours le facteur 2, leur PGCD est donc au moins égal à 2.
