Aralarında Asal Hesaplama Aracı nedir?
İki tam sayı, ikisini birden bölen tek pozitif tam sayı 1 olduğunda aralarında asal (İngilizcede coprime) kabul edilir. Başka bir deyişle, en büyük ortak bölenleri (obeb) tam olarak 1'dir. Bu araç, girdiğiniz iki tam sayının aralarında asal olup olmadığını obeb değeriyle birlikte anında gösterir.
Nasıl kullanılır?
a ve b alanlarına iki tam sayınızı girip hesaplatın. Araç, \(\gcd(a,\ b)\) değerini Öklid algoritmasıyla hesaplar. Sonuç 1 ise sayılar aralarında asaldır; aksi halde ortak bir bölenleri vardır ve aralarında asal değildirler. Aralarında asal olma durumu yalnızca mutlak değerlere bağlı olduğundan eksi işaretleri dikkate alınmaz.
$$\text{Aralarında asal} \iff \gcd\left(a,\ b\right) = 1$$Formülün açıklaması
Öklid algoritması, \((a, b)\) çiftini ikinci değer 0 olana kadar art arda \((b,\ a \bmod b)\) ile değiştirir. Sıfırdan farklı son değer obeb'i verir. Bu obeb 1'e eşit olduğunda sayılar tam olarak aralarında asaldır. Örneğin 8 ile 15'in ortak hiçbir asal çarpanı yoktur; bu yüzden \(\gcd = 1\) olur ve hiçbiri kendi başına asal olmasa bile aralarında asaldırlar.
Çözümlü örnek
\(a = 12\) ve \(b = 35\) olsun. 12'nin çarpanları 2 ve 3'tür; 35'in çarpanları ise 5 ve 7'dir. Ortak hiçbir asal çarpanları olmadığından \(\gcd(12,\ 35) = 1\) olur. Dolayısıyla 12 ile 35 aralarında asaldır. Buna karşılık 12 ile 18, 6 çarpanını paylaşır; bu durumda \(\gcd = 6\) olur ve aralarında asal değildirler.
Sıkça Sorulan Sorular
Aralarında asal sayıların kendileri de asal olmak zorunda mı? Hayır. Aralarında asal olmak, 1'den büyük ortak çarpanlarının bulunmaması demektir; sayıların kendileri asal olmak zorunda değildir (örneğin 8 ve 9).
1 her sayıyla aralarında asal mıdır? Evet. Her tam sayı \(n\) için \(\gcd(1,\ n) = 1\) olduğundan 1, her tam sayıyla aralarında asaldır.
İki çift sayı hiç aralarında asal olabilir mi? Hayır. Herhangi iki çift sayı 2 çarpanını paylaşır; bu nedenle obeb'leri en az 2'dir.
