सहअभाज्य संख्या कैलकुलेटर क्या है?
दो पूर्णांक तब सहअभाज्य (अंग्रेज़ी में coprime या relatively prime) कहलाते हैं, जब उन दोनों को विभाजित करने वाली एकमात्र धनात्मक संख्या 1 हो। दूसरे शब्दों में, उनका महत्तम समापवर्तक (gcd) ठीक 1 होता है। यह कैलकुलेटर आपकी दी हुई दो पूर्ण संख्याएँ लेता है और तुरंत बता देता है कि वे सहअभाज्य हैं या नहीं, साथ ही उनका gcd भी दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
a और b वाले खानों में अपनी दोनों पूर्णांक संख्याएँ भरें और सबमिट करें। यह टूल यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म की मदद से \(\gcd(a,\ b)\) निकालता है। अगर gcd 1 है, तो संख्याएँ सहअभाज्य हैं; नहीं तो उनमें कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है और वे सहअभाज्य नहीं हैं। ऋणात्मक चिह्नों को अनदेखा कर दिया जाता है, क्योंकि सहअभाज्यता केवल संख्याओं के निरपेक्ष मान (absolute value) पर निर्भर करती है।
सूत्र की व्याख्या
यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म बार-बार जोड़ी (a, b) को (b, a mod b) से बदलता रहता है, जब तक दूसरा मान 0 न हो जाए। आख़िरी शून्येतर (non-zero) मान ही gcd होता है। संख्याएँ ठीक तभी सहअभाज्य होती हैं जब यह gcd 1 के बराबर हो:
$$\text{Coprime} \iff \gcd\left(\text{a},\ \text{b}\right) = 1$$उदाहरण के लिए, 8 और 15 में कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए \(\gcd = 1\) और ये सहअभाज्य हैं — भले ही दोनों में से कोई भी संख्या स्वयं अभाज्य न हो।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 12\) और \(b = 35\)। 12 के गुणनखंड हैं 2 और 3; 35 के गुणनखंड हैं 5 और 7। इनमें कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए \(\gcd(12, 35) = 1\)। अतः 12 और 35 सहअभाज्य हैं। इसके विपरीत, 12 और 18 में गुणनखंड 6 उभयनिष्ठ है, इसलिए \(\gcd = 6\) और ये सहअभाज्य नहीं हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सहअभाज्य संख्याओं का स्वयं अभाज्य होना ज़रूरी है? नहीं। सहअभाज्य का मतलब है कि उनमें 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो; ज़रूरी नहीं कि संख्याएँ खुद अभाज्य हों (जैसे 8 और 9)।
क्या 1 हर संख्या के साथ सहअभाज्य होता है? हाँ। किसी भी पूर्णांक n के लिए \(\gcd(1, n) = 1\) होता है, इसलिए 1 हर पूर्णांक के साथ सहअभाज्य है।
क्या दो सम (even) संख्याएँ कभी सहअभाज्य हो सकती हैं? नहीं। किन्हीं भी दो सम संख्याओं में गुणनखंड 2 उभयनिष्ठ होता है, इसलिए उनका gcd कम से कम 2 होगा।
