गुणनखंड और अभाज्य गुणनखंडन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

संख्या कोई धनात्मक पूर्ण संख्या (1 या उससे बड़ी) दर्ज करें।

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Prime factorization

   

   Every integer greater than 1 can be written uniquely as a product of prime powers.

परिणाम

Number of Factors of 36

9

धनात्मक भाजक

गुणनखंड	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
फैक्टर पेयर	(1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6)
अभाज्य गुणनखंडन	2^2 x 3^2
क्या यह अभाज्य है?	नहीं

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी भी धनात्मक पूर्ण संख्या को लेकर पलक झपकते ही उसके सभी गुणनखंडों (भाजकों) की पूरी सूची, उसके सभी फैक्टर पेयर, गुणनखंडों की कुल संख्या, उसका अभाज्य गुणनखंडन और यह बताता है कि वह संख्या अभाज्य है या नहीं। यह "24 के गुणनखंड" या "100 के गुणनखंड" जैसे किसी एक संख्या वाले पेजों का सर्व-उपयोगी (जनरल-पर्पस) रूप है — बस कोई भी संख्या टाइप कीजिए और उसका पूरा विश्लेषण पाइए।

इसका उपयोग कैसे करें

Number बॉक्स में कोई धनात्मक पूर्णांक (1 या उससे बड़ा) दर्ज करें और सबमिट करें। दशमलव संख्याओं को नीचे की ओर पूर्णांकित कर दिया जाता है और ऋणात्मक चिह्न को अनदेखा कर दिया जाता है, इसलिए कैलकुलेटर हमेशा एक धनात्मक पूर्ण संख्या पर ही काम करता है। परिणाम में भाजक आरोही क्रम में, मिलते-जुलते फैक्टर पेयर और घातांक रूप में अभाज्य गुणनखंडन दिखाए जाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

कोई संख्या d, संख्या N का गुणनखंड तब होती है जब N mod d शून्य के बराबर हो। हर गुणनखंड को तेज़ी से खोजने के लिए हम केवल N के वर्गमूल तक के भाजकों की जाँच करते हैं: जब भी d, N को विभाजित करता है, तब d और N/d दोनों गुणनखंड होते हैं। यह संबंध इस प्रकार लिखा जाता है: $$d \mid N \iff N \bmod d = 0$$ अभाज्य गुणनखंडन में ट्रायल डिवीज़न का उपयोग होता है — पहले बार-बार 2 से, फिर हर विषम संख्या से भाग देते रहते हैं, जब तक बचा हुआ भाग 1 या कोई अभाज्य संख्या न रह जाए। इसका सामान्य रूप है: $$N = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k}$$ कोई संख्या ठीक तभी अभाज्य होती है जब उसके केवल दो ही गुणनखंड हों: 1 और वह संख्या स्वयं।

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एक गुणनखंड वृक्ष जो 36 को उसके अभाज्य गुणनखंडों 2x2x3x3 में विभाजित करता है।

हल किया गया उदाहरण: \(N = 36\)

d को 1 से 6 तक (जो 36 का वर्गमूल है) जाँचने पर भाजक युग्म मिलते हैं \((1, 36)\), \((2, 18)\), \((3, 12)\), \((4, 9)\) और \((6, 6)\)। गुणनखंडों की पूरी सूची है 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — यानी कुल 9 गुणनखंड। अभाज्य गुणनखंडन है $$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$$ चूँकि 36 के 9 गुणनखंड हैं, इसलिए यह अभाज्य नहीं है।

36 के गुणनखंड युग्म जिनका गुणनफल 36 होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या 1 एक अभाज्य संख्या है? नहीं। संख्या 1 का केवल एक ही गुणनखंड (वह स्वयं) होता है, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य, और इसका कोई अभाज्य गुणनखंड भी नहीं होता।

फैक्टर पेयर क्या होता है? फैक्टर पेयर दो संख्याओं का जोड़ा होता है जिन्हें आपस में गुणा करने पर मूल संख्या मिलती है, जैसे 36 के लिए \((4, 9)\)। हर जोड़े में छोटी संख्या पहले लिखी जाती है।

अभाज्य गुणनखंडन में घातांक क्यों इस्तेमाल होते हैं? \(2^2 \times 3^2\) जैसी घातांक संकेतन दरअसल \(2 \times 2 \times 3 \times 3\) का संक्षिप्त रूप है। बार-बार आने वाले अभाज्य गुणनखंडों को दर्शाने का यही मानक और सघन तरीका है।