बर्नौली संख्या क्या होती है?

बर्नौली संख्याएँ $B_n$ परिमेय संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम हैं जो संख्या-सिद्धांत (नंबर थ्योरी) और विश्लेषण (एनालिसिस) में बार-बार सामने आती हैं। इन्हें जनक फलन (जनरेटिंग फंक्शन) $x/(e^x - 1)$ के मैक्लॉरिन विस्तार के गुणांकों के रूप में परिभाषित किया जाता है। ये पूर्णांकों की घातों के योग के बंद-रूप सूत्रों में, ऑयलर-मैक्लॉरिन सूत्र में, सम पूर्णांकों पर रीमान ज़ीटा फलन के मानों में, तथा टैंजेंट और कोटैंजेंट फलनों की टेलर श्रेणी में दिखाई देती हैं।

पहली बर्नूली संख्याओं की सारणी सटीक भिन्नों के रूप में — पहले कुछ बर्नूली संख्याएँ सटीक भिन्नों के रूप में, जिनमें विषम-सूचकांक मान (B1 के ऊपर) शून्य हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक सूचकांक $n$ (0, 1, 2, 3, ...) दर्ज करें और चुनें कि दशमलव में कितने सार्थक अंक (सिग्निफिकेंट डिजिट) दिखाने हैं। कैलकुलेटर सटीक परिमेय मान को भिन्न $p/q$ के रूप में देता है (उदाहरण के लिए $B_{12} = -691/2730$) और साथ में एक गोल किया हुआ दशमलव भी। सार्थक अंकों की सेटिंग केवल दशमलव प्रदर्शन को प्रभावित करती है; भिन्न तो हमेशा बिल्कुल सटीक रहती है।

यहाँ अपनाई गई परिपाटी

यह टूल $B_1 = -1/2$ वाली परिपाटी का उपयोग करता है, जो जनक फलन $x/(e^x - 1)$ से मेल खाती है। वैकल्पिक "धन" परिपाटी में $B_1 = +1/2$ लिया जाता है और $x/(1 - e^{-x})$ का प्रयोग होता है; इन दोनों में अंतर केवल $B_1$ के चिह्न का है। बाकी सभी बर्नौली संख्याएँ दोनों परिपाटियों में एक जैसी ही रहती हैं, और $B_1$ के बाद हर विषम-सूचकांक वाला मान बिल्कुल शून्य होता है।

सूत्र की व्याख्या

फ्लोटिंग-पॉइंट गोलाई की त्रुटियों से बचने के लिए (जैसे $B_2$ का 0.16666... आना, जिससे $6 \cdot B_2$ कटकर 0 बन जाए), यह कैलकुलेटर सटीक परिमेय अंकगणित का उपयोग करता है। यह पुनरावृत्ति सूत्र लागू करता है

$$B_{\text{n}} = -\frac{1}{\text{n}+1}\sum_{k=0}^{\text{n}-1}\binom{\text{n}+1}{k}\,B_{k}$$

जहाँ $B_0 = 1$ और $\binom{m+1}{k}$ एक द्विपद गुणांक (बाइनोमियल कोएफ़िशिएंट) है। प्रत्येक $B_k$ को संक्षिप्त अंश/हर की जोड़ी के रूप में रखा जाता है, इसलिए दशमलव में बदलने से पहले उत्तर गणितीय रूप से बिल्कुल सटीक होता है।

बर्नूली संख्याओं का जनक फलन घात-श्रेणी में विस्तारित — जनक फलन $x/(e^x-1)$, जिसके घात-श्रेणी गुणांक बर्नूली संख्याओं $B_n$ को परिभाषित करते हैं।

हल किया गया उदाहरण (n = 4)

$B_0 = 1$, $B_1 = -1/2$, $B_2 = 1/6$ और $B_3 = 0$ से शुरू करते हुए, पुनरावृत्ति सूत्र से

$$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0.0333333\ldots$$

मिलता है। आप इसे प्रसिद्ध तालिका से मिलाकर जाँच सकते हैं: $B_6 = 1/42$, $B_8 = -1/30$, $B_{10} = 5/66$, $B_{12} = -691/2730$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

विषम बर्नौली संख्याएँ शून्य क्यों होती हैं? $B_1$ को छोड़कर, हर विषम-सूचकांक वाली बर्नौली संख्या $B_{2n+1}$ शून्य के बराबर होती है, क्योंकि जनक फलन में एक प्रकार की सममिति (सिमेट्री) होती है।

बड़े सम-सूचकांक वाले मान इतने विशाल क्यों हो जाते हैं? इनका परिमाण बहुत तेज़ी से बढ़ता है; उदाहरण के लिए $|B_{50}|$ लगभग $7.5 \times 10^{24}$ है। सटीक भिन्नें ऐसे विशाल मानों को बिना ओवरफ़्लो हुए संभाल लेती हैं।

यहाँ $B_1$ धनात्मक है या ऋणात्मक? ऋणात्मक: यह कैलकुलेटर $B_1 = -1/2$ देता है।

सूचकांक n	4
सटीक भिन्न	-1/30
Decimal (22 sig. digits)	-0.03333333333333333333333

बर्नौली संख्या कैलकुलेटर (Bₙ)

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