ベルヌーイ数とは
ベルヌーイ数 \(B_n\) は、整数論や解析学の至るところに登場する有理数の数列です。母関数 \(\frac{x}{e^x - 1}\) のマクローリン展開における係数として定義されます。整数のべき乗和の閉じた式、オイラー＝マクローリンの公式、偶数における リーマンゼータ関数の値、さらに正接（tan）や余接（cot）関数のテイラー展開など、さまざまな場面で現れます。
この計算機の使い方
非負整数のインデックス \(n\)（0, 1, 2, 3, …）を入力し、表示する有効桁数を選びます。計算機は厳密な有理数を分数 \(p/q\) の形（例：\(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)）で返すとともに、丸めた小数値も表示します。有効桁数の設定は小数表示にのみ影響し、分数は常に厳密な値です。
採用している規約
本ツールでは母関数 \(\frac{x}{e^x - 1}\) に対応する規約 \(B_1 = -\frac{1}{2}\) を採用しています。もう一方の「プラス」規約では \(B_1 = +\frac{1}{2}\) とし、母関数 \(\frac{x}{1 - e^{-x}}\) を用いますが、両者の違いは \(B_1\) の符号だけです。それ以外のベルヌーイ数はどちらの規約でも同一であり、\(B_1\) より先の奇数インデックスの値はすべて厳密に 0 になります。
計算式の解説
浮動小数点による丸め誤差（たとえば \(B_2\) が 0.16666… となり、\(6 \cdot B_2\) が 0 に切り捨てられてしまうなど）を避けるため、この計算機は厳密な有理数演算を用いています。漸化式 $$B_0 = 1, \quad B_m = -\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m+1}{k}\,B_k$$ を適用します。ここで \(\binom{m+1}{k}\) は二項係数です。各 \(B_k\) は約分された分子・分母の組として保持されるため、小数に変換する前の答えは数学的に厳密です。
計算例（n = 4）
\(B_0 = 1\)、\(B_1 = -\frac{1}{2}\)、\(B_2 = \frac{1}{6}\)、\(B_3 = 0\) から始めると、漸化式により $$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0.0333333\ldots$$ が得られます。既知の表と照合して確かめることもできます：\(B_6 = \frac{1}{42}\)、\(B_8 = -\frac{1}{30}\)、\(B_{10} = \frac{5}{66}\)、\(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)。
よくある質問
なぜ奇数番目のベルヌーイ数は 0 なのですか？ \(B_1\) を除き、奇数インデックスのベルヌーイ数 \(B_{2n+1}\) はすべて 0 になります。これは母関数の対称性によるものです。
なぜ偶数インデックスの値は大きくなるのですか？ その大きさは急速に増大します。たとえば \(|B_{50}|\) はおよそ \(7.5\times10^{24}\) です。厳密な分数を用いれば、こうした巨大な値もオーバーフローせずに扱えます。
ここでの \(B_1\) は正ですか負ですか？ 負です。この計算機は \(B_1 = -\frac{1}{2}\) を返します。
