什么是伯努利数？
伯努利数 \(B_n\) 是一组有理数序列，在数论和分析学中随处可见。它们被定义为生成函数 \(\frac{x}{e^x - 1}\) 麦克劳林展开式中的系数。无论是整数幂求和的封闭表达式、欧拉–麦克劳林公式、黎曼 \(\zeta\) 函数在偶数点的取值，还是正切函数与余切函数的泰勒级数，背后都能找到伯努利数的身影。
如何使用本计算器
输入一个非负整数下标 \(n\)（0、1、2、3……），再选择希望显示的有效小数位数。计算器会给出精确的有理数结果，即分数形式 \(p/q\)（例如 \(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)），并附带一个四舍五入后的小数值。有效位数设置只影响小数的显示精度；分数结果始终是精确无误差的。
所采用的约定
本工具采用 \(B_1 = -\frac{1}{2}\) 的约定，对应生成函数 \(\frac{x}{e^x - 1}\)。另一种「正号」约定取 \(B_1 = +\frac{1}{2}\)，对应 \(\frac{x}{1 - e^{-x}}\)；两者仅在 \(B_1\) 的符号上有所不同。除此之外，所有其他伯努利数在两种约定下完全一致，并且除 \(B_1\) 外，所有奇数下标的伯努利数都精确等于零。
公式详解
为避免浮点舍入误差（例如 \(B_2\) 被算成 0.16666……，导致 \(6 \cdot B_2\) 被截断为 0），本计算器采用精确的有理数运算。它使用递推关系： $$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$ 其中 \(B_0 = 1\)，\(\binom{m+1}{k}\) 是二项式系数。每个 \(B_k\) 都以约分后的「分子/分母」整数对形式保存，因此在转换为小数之前，结果在数学上是完全精确的。
计算实例（n = 4）
从 \(B_0 = 1\)、\(B_1 = -\frac{1}{2}\)、\(B_2 = \frac{1}{6}\)、\(B_3 = 0\) 出发，利用递推关系可得 $$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0.0333333\ldots$$ 你可以对照已知数表来验证：\(B_6 = \frac{1}{42}\)，\(B_8 = -\frac{1}{30}\)，\(B_{10} = \frac{5}{66}\)，\(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)。
常见问题
为什么奇数下标的伯努利数都是零？除 \(B_1\) 之外，所有奇数下标的伯努利数 \(B_{2n+1}\) 都等于 0，这源于生成函数本身的对称性。
为什么偶数下标越大，数值会变得如此巨大？它们的绝对值增长极快，例如 \(|B_{50}|\) 约为 \(7.5 \times 10^{24}\)。使用精确分数可以避免溢出问题，从容应对这些大数。
这里的 \(B_1\) 是正还是负？是负值：本计算器返回 \(B_1 = -\frac{1}{2}\)。
