Что такое число Бернулли?

Числа Бернулли $B_n$ — это последовательность рациональных чисел, которая встречается во множестве разделов теории чисел и математического анализа. Их определяют как коэффициенты разложения Маклорена производящей функции $\frac{x}{e^x - 1}$. Эти числа возникают в формулах для сумм степеней натуральных чисел, в формуле Эйлера — Маклорена, в значениях дзета-функции Римана в чётных точках, а также в разложениях в ряд Тейлора тангенса и котангенса.

Таблица первых чисел Бернулли в виде точных дробей — Первые числа Бернулли в виде точных дробей; значения с нечётными индексами (выше $B_1$) равны нулю.

Как пользоваться калькулятором

Введите неотрицательный целый индекс $n$ (0, 1, 2, 3, …) и укажите, сколько значащих цифр после запятой вы хотите видеть. Калькулятор выдаёт точное рациональное значение в виде дроби $p/q$ (например, $B_{12} = -691/2730$), а рядом — округлённое десятичное число. Настройка значащих цифр влияет только на вид десятичного результата; сама дробь всегда остаётся абсолютно точной.

Используемое соглашение

Здесь применяется соглашение $B_1 = -1/2$, которое соответствует производящей функции $\frac{x}{e^x - 1}$. Альтернативное «плюсовое» соглашение задаёт $B_1 = +1/2$ и использует функцию $\frac{x}{1 - e^{-x}}$; различие между ними только в знаке $B_1$. Все остальные числа Бернулли в обоих соглашениях совпадают, а каждое значение с нечётным индексом, начиная с $B_3$, в точности равно нулю.

Разбор формулы

Чтобы избежать ошибок округления при вычислениях с плавающей точкой (например, когда $B_2$ получается как 0,16666…, и тогда $6 \cdot B_2$ обрезается до 0), калькулятор использует точную арифметику дробей. В основе лежит рекуррентное соотношение:

$$B_{\text{n}} = -\frac{1}{\text{n}+1}\sum_{k=0}^{\text{n}-1}\binom{\text{n}+1}{k}\,B_{k}$$

где $B_0 = 1$, а $\binom{m+1}{k}$ — биномиальный коэффициент. Каждое $B_k$ хранится как пара «числитель/знаменатель» в несократимом виде, поэтому ответ математически точен ещё до перевода в десятичную форму.

Производящая функция чисел Бернулли, разложенная в степенной ряд — Производящая функция $\frac{x}{e^x-1}$, коэффициенты степенного ряда которой задают числа Бернулли $B_n$.

Пример вычисления (n = 4)

Отталкиваясь от $B_0 = 1$, $B_1 = -1/2$, $B_2 = 1/6$ и $B_3 = 0$, рекуррентная формула даёт

$$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0{,}0333333\ldots$$

Результат легко проверить по известной таблице: $B_6 = 1/42$, $B_8 = -1/30$, $B_{10} = 5/66$, $B_{12} = -691/2730$.

Частые вопросы

Почему нечётные числа Бернулли равны нулю? За исключением $B_1$, каждое число Бернулли с нечётным индексом $B_{2n+1}$ равно 0 — это следствие симметрии производящей функции.

Почему значения с большими чётными индексами так стремительно растут? Их модуль увеличивается очень быстро: например, $|B_{50}|$ составляет около $7{,}5\times10^{24}$. Точные дроби справляются с такими величинами без переполнения.

$B_1$ здесь положительное или отрицательное? Отрицательное: этот калькулятор возвращает $B_1 = -1/2$.

Индекс n	4
Точная дробь	-1/30
Decimal (22 sig. digits)	-0.03333333333333333333333

Калькулятор чисел Бернулли (Bₙ)

Введите расчет

Математическая формула

Результатов