ما هي حاسبة الأعداد الأولية فيما بينها؟
يُقال عن عددين صحيحين إنهما أوّليان فيما بينهما (أو متباينان) عندما يكون العدد 1 هو القاسم الموجب الوحيد المشترك بينهما. بعبارة أخرى، يساوي قاسمهما المشترك الأكبر (gcd) العددَ 1 تمامًا. تأخذ هذه الحاسبة عددين صحيحين وتُخبرك فورًا بما إذا كانا متباينين، مع عرض قاسمهما المشترك الأكبر.
كيفية الاستخدام
أدخل العددين الصحيحين في الخانتين المخصّصتين للعدد a والعدد b ثم أرسل البيانات. تحسب الأداة قيمة \(\gcd(a, b)\) باستخدام خوارزمية إقليدس. فإن كان القاسم المشترك الأكبر يساوي 1 فالعددان أوّليان فيما بينهما؛ وإلا فهما يشتركان في عامل ولا يكونان متباينين. ولا تؤثّر الإشارات السالبة في النتيجة لأن التباين يعتمد على القيم المطلقة فقط.
شرح المعادلة
تستبدل خوارزمية إقليدس بشكل متكرّر الزوج \((a, b)\) بالزوج \((b, a \bmod b)\) إلى أن تصبح القيمة الثانية صفرًا. عندئذٍ تكون آخر قيمة غير صفرية هي القاسم المشترك الأكبر. ويكون العددان متباينين تحديدًا عندما يساوي هذا القاسم العددَ 1:
$$\text{Coprime} \iff \gcd\left(\text{a},\ \text{b}\right) = 1$$
فمثلًا، العددان 8 و15 لا يشتركان في أي عامل أوّلي، لذا فإن \(\gcd = 1\) وهما متباينان، رغم أن أيًّا منهما ليس عددًا أوّليًا في حدّ ذاته.
مثال محلول
لنأخذ \(a = 12\) و \(b = 35\). عوامل العدد 12 هي 2 و3؛ وعوامل العدد 35 هي 5 و7. وهما لا يشتركان في أي عامل أوّلي، لذا فإن \(\gcd(12, 35) = 1\). ومن ثَمّ فإن العددين 12 و35 أوّليان فيما بينهما. في المقابل، يشترك العددان 12 و18 في العامل 6، لذا فإن \(\gcd = 6\) وهما ليسا متباينين.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن تكون الأعداد المتباينة أعدادًا أوّلية؟ لا. يعني التباين أنها لا تشترك في أي عامل أكبر من 1، ولا يلزم أن تكون الأعداد نفسها أوّلية (مثل 8 و9).
هل العدد 1 متباين مع كل الأعداد؟ نعم. فإن \(\gcd(1, n) = 1\) لأي عدد صحيح \(n\)، لذا فالعدد 1 أوّلي فيما بينه وبين أي عدد صحيح.
هل يمكن أن يكون عددان زوجيان متباينين؟ لا. يشترك أي عددين زوجيين في العامل 2، لذا فإن قاسمهما المشترك الأكبر لا يقلّ عن 2.
