ما هو العدد الأولي؟
العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 له قاسمان مختلفان فقط لا غير: الرقم 1 ونفسه. ومن أمثلته 2 و3 و5 و7 و11 و13. أمّا أي عدد صحيح أكبر من 1 وليس أوليًا فيُسمّى عددًا مركّبًا، لأنه يمكن تحليله إلى أعداد صحيحة أصغر. واصطلاحًا، فإن العددين 0 و1 ليسا أوليين ولا مركّبين. تعمل هذه الأداة مع أي عدد صحيح، وهي حاسبة رياضية عالمية لا ترتبط بأي بلد أو عملة.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب أي عدد صحيح في الخانة ثم أرسله. تخبرك الحاسبة فورًا بما إذا كان العدد أوليًا أم مركّبًا، وتحسب إجمالي قواسمه، وإذا كان مركّبًا فإنها تعرض أصغر عامل له أكبر من 1. وهذا مفيد لحلّ الواجبات الرياضية، أو دراسة علم التشفير، أو حتى لإشباع فضولك ليس إلّا.
شرح القانون
لاختبار ما إذا كان العدد n أوليًا، يكفي أن نبحث عن قاسم d يقع بين 2 والجذر التربيعي لـ n. فإذا قسم أيٌّ من هذه القيم العددَ n دون باقٍ، فإن n عدد مركّب ونتوقّف. أمّا إذا وصلنا إلى \(\sqrt{n}\) دون أن نجد أي قاسم، فإن n عدد أولي.
$$\text{Prime} \iff \text{N} \geq 2 \;\text{and}\; \nexists\, d \in \left[2, \left\lfloor \sqrt{\text{N}} \right\rfloor\right] : \text{N} \bmod d = 0$$ونكتفي بالفحص حتى \(\sqrt{n}\) لأنه إذا كان \(n = a \times b\)، فلا بدّ أن يكون أحد العاملين على الأقل \(\leq \sqrt{n}\) — وبالتالي فإن البحث في نطاق أوسع لا لزوم له. وهذا ما يجعل الاختبار سريعًا حتى مع الأعداد الكبيرة.
مثال محلول
لنأخذ \(n = 97\). الجذر التربيعي للعدد 97 يساوي نحو \(\sqrt{97} \approx 9.85\)، فنختبر القواسم 3 و5 و7 و9 (بعد استبعاد 2 لأن 97 عدد فردي). لا يقسم أيٌّ منها العددَ 97 قسمة تامة، إذًا ليس للعدد 97 أي عامل حتى جذره التربيعي. وعليه فإن 97 عدد أولي له قاسمان اثنان فقط.
الأسئلة الشائعة
هل العدد 1 عدد أولي؟ لا. لا بدّ أن يكون للعدد الأولي قاسمان مختلفان بالضبط، أمّا العدد 1 فله قاسم واحد فقط (وهو نفسه)، لذا فهو ليس أوليًا ولا مركّبًا.
هل العدد 2 أولي؟ نعم — والعدد 2 هو العدد الزوجي الأولي الوحيد. وكل عدد زوجي آخر يقبل القسمة على 2، ومن ثَمّ يكون مركّبًا.
لماذا نفحص حتى الجذر التربيعي فقط؟ لأن القواسم تأتي في أزواج حاصل ضربها يساوي n. فلو كان كلا العاملين أكبر من \(\sqrt{n}\)، لتجاوز حاصل ضربهما العددَ n، وهذا مستحيل — لذا يكون العامل الأصغر في أي زوج دائمًا \(\leq \sqrt{n}\).
