이 계산기는 무엇을 하나요?
이 주사위 공정성 카이제곱 검정 계산기는 6면 주사위가 공정한지(균형이 잡혀 있는지) 아니면 한쪽으로 치우쳐 있는지를 알려줍니다. 각 면(1부터 6까지)이 몇 번씩 나왔는지 입력하면, 피어슨 카이제곱 적합도 검정을 통해 실제 관측 횟수를 균일 분포에서 기대되는 횟수와 비교합니다. 순수한 통계 계산이므로 어느 나라에서나 동일하게 작동합니다.
사용 방법
주사위를 여러 번 굴린 뒤 결과를 집계하세요. 그런 다음 여섯 면 각각이 나온 횟수를 입력합니다. 계산기는 면당 기대 횟수, 카이제곱 검정 통계량, 그리고 정말로 공정한 주사위가 이 정도 이상 편차를 보일 누적(상측 꼬리) 확률을 계산합니다. 확률이 높으면 주사위가 공정해 보이는 것이고, 확률이 낮으면 치우침이 의심됩니다.
공식 설명
N을 전체 굴린 횟수, \(k = 6\)을 면의 개수라고 합시다. 면당 기대 횟수는 \(E = N / 6\)입니다. 검정 통계량은 다음과 같으며,
$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{6} \frac{(O_i - E)^2}{E}$$여기서 \(O_i\)는 면 \(i\)가 관측된 횟수입니다. 자유도 \(df = k - 1 = 5\)일 때, 누적 확률은 카이제곱 분포의 상측 꼬리(생존) 값으로 구합니다:
$$P = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\tfrac{x}{2}}\right) + \sqrt{\tfrac{2x}{\pi}}\cdot e^{-x/2}\cdot\left(1 + \tfrac{x}{3}\right)$$백분율로 표시합니다.
계산 예시
각 면이 [3, 6, 4, 7, 2, 5]번 나왔다고 가정해 봅시다. 그러면 \(N = 27\)이고 \(E = 27/6 = 4.5\)입니다. 편차의 제곱을 \(E\)로 나눈 값들의 합은 약 \(3.889\)입니다. \(df = 5\)일 때 \(x = 3.889\)에서의 상측 꼬리 카이제곱 확률은 대략 \(56.6\%\)입니다. 이 값이 \(50\%\)를 넘으므로 이 주사위는 공정하다고 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
왜 굴린 횟수가 적으면 항상 "공정"하게 나오나요? 표본이 작으면 카이제곱 통계량이 작고 확률이 크게 나오기 때문에 검정이 보수적으로 작동합니다. 의미 있는 결과를 얻으려면 주사위를 수백 번 이상 많이 굴려야 합니다.
어느 정도 확률이면 불공정한 건가요? \(50\%\) 이상이면 공정해 보이고, \(20\text{–}50\%\)는 판단하기 어려우며, \(20\%\) 미만이면 의심스럽고, \(5\%\) 미만이면 그 주사위 사용을 멈춰야 할 강력한 증거입니다.
다른 주사위에도 사용할 수 있나요? 이 도구는 6면(\(df = 5\))으로 고정되어 있습니다. 다만 같은 방법을 \(k\)개의 면에 자유도 \(df = k - 1\)로 일반화할 수 있습니다.
