이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 표본 평균(μ)과 표준편차(σ)를 바탕으로 '참값'이 위치할 가능성이 높은 범위를 추정합니다. 측정 대상이 정규분포를 따른다고 가정하며, 대칭형 양측 구간인 \(\mu \pm z \cdot \sigma\)를 계산해 줍니다. 여기서 \(z\)는 선택한 신뢰수준에 대응하는 표준정규분포 임곗값입니다. 평균과 표준편차는 단순한 숫자로 입력하면 되고, 결과 구간은 입력한 단위 그대로 표시됩니다.
사용 방법
평균, 표준편차(0 이상이어야 함), 그리고 신뢰수준을 백분율로 입력하세요. 신뢰수준은 50 < 신뢰수준 < 100 범위여야 하며 보통 95를 많이 씁니다. 계산기는 입력한 백분율을 확률 \(p\)로 변환한 뒤 임곗값 \(z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1+p}{2}\right)\)를 구하고, 하한과 상한을 돌려줍니다. 신뢰수준이 100%면 구간이 무한대로 발산하므로, 반드시 100 미만이어야 합니다.
공식 풀이
확률 \(p = \text{신뢰수준}/100\)일 때, 양측 \(z\) 값은 \((1+p)/2\) 지점의 표준정규분위수입니다. 95%의 경우 \(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.95996\)이므로 구간은 \(\mu \pm 1.96\sigma\)가 됩니다. 알아두면 편리한 기준점으로는 68.26% 포함 범위가 \(\mu \pm 1\sigma\), 95.45%가 \(\mu \pm 2\sigma\), 99.73%가 \(\mu \pm 3\sigma\)에 해당합니다. 역정규누적분포함수는 유리함수 기반의 Acklam 근사식에 Halley 보정 단계를 더해 계산하므로, 별도의 분포표(z 테이블)가 필요 없습니다.
계산 예시
평균 = 100, 표준편차 = 5, 신뢰수준 = 99%인 경우를 봅시다. \(p = 0.99\)이고 \(z = \Phi^{-1}(0.995) \approx 2.57583\)입니다.
$$\text{하한} = 100 - 2.57583 \cdot 5 = 87.121$$$$\text{상한} = 100 + 12.879 = 112.879$$결과는 "87.12에서 112.88 사이"로 표시됩니다.
자주 묻는 질문
왜 95%에서 1.645가 아니라 1.96을 쓰나요? 대칭형 양측 구간은 남은 5%를 양쪽 꼬리에 2.5%씩 나눠 배분합니다. 따라서 \(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)이 됩니다. 1.645는 단측(한쪽) 95% 분위수로, 양측 범위에는 적합하지 않습니다.
t 분포를 써야 하지 않나요? 작은 표본에서 \(\sigma\)를 추정해 사용할 때는 표본 크기 \(n\)을 반영한 t 분포(구간은 \(\text{평균} \pm t \cdot s/\sqrt{n}\))가 더 적절합니다. 이 도구는 의도적으로 \(\sigma\)를 알려진 모집단 값으로 보고 정규분포 \(z\)를 사용하므로 \(n\)이 필요하지 않습니다.
표준편차가 0이면 어떻게 되나요? 구간은 하나의 점 [평균, 평균]으로 수렴합니다.
