Qué hace esta calculadora
Esta herramienta estima el rango en el que probablemente se sitúa un «valor real» a partir de la media (\(\mu\)) y la desviación típica (\(\sigma\)) de una muestra. Parte del supuesto de que la magnitud sigue una distribución normal y devuelve el intervalo simétrico de dos colas \(\mu \pm z\cdot\sigma\), donde \(z\) es el valor crítico de la normal estándar correspondiente al nivel de confianza que elijas. La media y la desviación típica son números sin más, y el intervalo se expresa en las mismas unidades que hayas introducido.
Cómo utilizarla
Introduce la media, la desviación típica (debe ser 0 o mayor) y un nivel de confianza en porcentaje, con la condición 50 < confianza < 100 (lo habitual es 95). La calculadora convierte el porcentaje en una probabilidad \(p\), halla el valor crítico $$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1+p}{2}\right)$$ y devuelve los límites inferior y superior. Al 100% el intervalo sería infinito, así que la confianza tiene que mantenerse por debajo de 100.
La fórmula explicada
Para una probabilidad \(p = \text{confianza}/100\), el valor \(z\) de dos colas es el cuantil de la normal estándar en \(\frac{1+p}{2}\). Para el 95% resulta \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}95996\), por lo que el intervalo es \(\mu \pm 1{,}96\sigma\). Referencias útiles: una cobertura del 68,26% equivale a \(\mu \pm 1\sigma\), el 95,45% a \(\mu \pm 2\sigma\) y el 99,73% a \(\mu \pm 3\sigma\). La función inversa de la distribución normal (CDF inversa) se calcula mediante una aproximación racional (de Acklam) seguida de un paso de refinamiento de Halley, de modo que no hace falta consultar ninguna tabla.
Ejemplo resuelto
Con media = 100, desviación típica = 5 y confianza = 99%: \(p = 0{,}99\), \(z = \Phi^{-1}(0{,}995) \approx 2{,}57583\). $$\text{Límite inferior} = 100 - 2{,}57583\cdot 5 = 87{,}121$$ $$\text{Límite superior} = 100 + 12{,}879 = 112{,}879$$ El resultado indica «entre 87,12 y 112,88».
Preguntas frecuentes
¿Por qué usa 1,96 para el 95% y no 1,645? Un intervalo simétrico de dos colas reparte el 5% restante en dos colas del 2,5% cada una, lo que da \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). El valor 1,645 es el cuantil del 95% de una sola cola y no es correcto para un rango de dos colas.
¿Debería usar mejor la distribución t? Cuando \(\sigma\) se estima a partir de una muestra pequeña, lo más adecuado es una distribución t con tamaño muestral \(n\) (intervalo \(\text{media} \pm t\cdot s/\sqrt{n}\)). Esta herramienta trata \(\sigma\) deliberadamente como un valor poblacional conocido y emplea la \(z\) de la normal, por lo que no necesita \(n\).
¿Y si la desviación típica es 0? El intervalo se reduce a un único punto \([\text{media}, \text{media}]\).
