Что делает этот калькулятор
Инструмент оценивает диапазон, в котором с высокой вероятностью находится «истинное значение», на основе выборочного среднего (μ) и стандартного отклонения (σ). Предполагается, что величина подчиняется нормальному распределению, и в результате выдаётся симметричный двусторонний интервал \(\mu \pm z \cdot \sigma\), где \(z\) — критическое значение стандартного нормального распределения для выбранного уровня доверия. Среднее и стандартное отклонение задаются как обычные числа, а интервал выводится в тех же единицах измерения, которые вы использовали.
Как пользоваться
Введите среднее, стандартное отклонение (должно быть 0 или больше) и уровень доверия в процентах, где 50 < уровень доверия < 100 (чаще всего 95). Калькулятор переводит процент в вероятность \(p\), находит критическое значение $$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1 + p}{2}\right)$$ и возвращает нижнюю и верхнюю границы. При 100% интервал стал бы бесконечным, поэтому уровень доверия должен оставаться строго меньше 100.
Разбор формулы
Для вероятности \(p = \text{уровень доверия}/100\) двустороннее значение \(z\) равно квантилю стандартного нормального распределения в точке \(\frac{1+p}{2}\). Для 95% это \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}95996\), поэтому интервал составляет \(\mu \pm 1{,}96\sigma\). Полезные ориентиры: охват 68,26% соответствует \(\mu \pm 1\sigma\), 95,45% — \(\mu \pm 2\sigma\), а 99,73% — \(\mu \pm 3\sigma\). Обратная функция нормального распределения вычисляется с помощью рационального приближения (Acklam) с уточняющим шагом Халли, поэтому таблицы значений не требуются.
Пример расчёта
При среднем = 100, sd = 5 и уровне доверия 99%: \(p = 0{,}99\), \(z = \Phi^{-1}(0{,}995) \approx 2{,}57583\). Нижняя граница:
$$100 - 2{,}57583 \cdot 5 = 87{,}121$$верхняя граница:
$$100 + 12{,}879 = 112{,}879$$Результат: «от 87,12 до 112,88».
Частые вопросы
Почему для 95% используется 1,96, а не 1,645? Симметричный двусторонний интервал делит оставшиеся 5% на два хвоста по 2,5% каждый, что даёт \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). Значение 1,645 — это односторонний квантиль 95% и для двустороннего диапазона оно не подходит.
Не стоит ли использовать распределение Стьюдента (t)? Когда \(\sigma\) оценивается по небольшой выборке, корректнее применять t-распределение с учётом объёма выборки \(n\) (интервал \(\text{среднее} \pm t \cdot s/\sqrt{n}\)). Этот инструмент намеренно рассматривает \(\sigma\) как известное значение для генеральной совокупности и использует нормальное \(z\), поэтому объём \(n\) ему не нужен.
Что если sd = 0? Интервал стягивается в одну точку [среднее, среднее].
