À quoi sert ce calculateur
Cet outil estime la plage dans laquelle une « vraie valeur » a de fortes chances de se trouver, à partir d'une moyenne (\(\mu\)) et d'un écart-type (\(\sigma\)) issus d'un échantillon. Il suppose que la grandeur suit une loi normale et renvoie l'intervalle bilatéral symétrique \(\mu \pm z\cdot\sigma\), où \(z\) est la valeur critique de la loi normale centrée réduite associée au niveau de confiance choisi. La moyenne et l'écart-type sont de simples nombres, et l'intervalle est exprimé dans les unités que vous avez saisies.
Comment l'utiliser
Saisissez votre moyenne, votre écart-type (qui doit être supérieur ou égal à 0) et un niveau de confiance en pourcentage tel que 50 < confiance < 100 (le plus souvent 95). Le calculateur convertit ce pourcentage en une probabilité \(p\), détermine la valeur critique $$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1+p}{2}\right),$$ puis renvoie les bornes inférieure et supérieure. À 100 %, l'intervalle deviendrait infini : la confiance doit donc rester strictement inférieure à 100.
La formule expliquée
Pour une probabilité \(p = \text{confiance}/100\), la valeur \(z\) bilatérale correspond au quantile de la loi normale centrée réduite en \((1+p)/2\). Pour 95 %, on a \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}95996\), ce qui donne l'intervalle \(\mu \pm 1{,}96\,\sigma\). Quelques repères utiles : une couverture de 68,26 % équivaut à \(\mu \pm 1\sigma\), 95,45 % à \(\mu \pm 2\sigma\) et 99,73 % à \(\mu \pm 3\sigma\). La fonction de répartition inverse de la loi normale est calculée à l'aide d'une approximation rationnelle (Acklam) suivie d'une étape de raffinement de Halley : aucune table de valeurs n'est donc nécessaire.
Exemple concret
Avec une moyenne = 100, un écart-type = 5 et une confiance = 99 % : \(p = 0{,}99\), \(z = \Phi^{-1}(0{,}995) \approx 2{,}57583\). $$\text{Borne inférieure} = 100 - 2{,}57583\cdot 5 = 87{,}121$$ $$\text{Borne supérieure} = 100 + 12{,}879 = 112{,}879$$ Le résultat affiche « entre 87,12 et 112,88 ».
FAQ
Pourquoi utilise-t-on 1,96 pour 95 %, et non 1,645 ? Un intervalle bilatéral symétrique répartit les 5 % restants en deux queues de 2,5 % chacune, ce qui donne \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). La valeur 1,645 correspond au quantile unilatéral à 95 % et n'est pas adaptée à une plage bilatérale.
Faut-il plutôt utiliser la loi de Student (t) ? Lorsque \(\sigma\) est estimé à partir d'un petit échantillon, une loi de Student à \(n\) degrés de liberté (intervalle \(\text{moyenne} \pm t\cdot s/\sqrt{n}\)) est plus appropriée. Cet outil traite délibérément \(\sigma\) comme une valeur connue de la population et utilise le \(z\) normal : il n'a donc pas besoin de \(n\).
Et si l'écart-type vaut 0 ? L'intervalle se réduit à un point unique \([\text{moyenne}, \text{moyenne}]\).
