À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule les trois grandeurs descriptives essentielles d'une loi binomiale : la moyenne (ou espérance), la variance et l'écart-type. La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus sur un nombre fixe d'essais indépendants, chaque essai partageant la même probabilité de succès. Elle s'applique à toutes les situations de ce type : lancers de pièce, échantillonnage en contrôle qualité, réponses à un sondage ou n'importe quelle expérience à réponse oui/non répétée n fois.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre d'essais n (un entier positif) et la probabilité de succès p à chaque essai (une valeur comprise entre 0 et 1). Le calculateur affiche instantanément la moyenne, la variance et l'écart-type.
Les formules expliquées
Pour une loi binomiale de paramètres n et p :
$$\mu = n\,p, \qquad \sigma^{2} = n\,p\,(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}$$La moyenne vaut \(\mu = np\) — c'est le nombre de succès attendu. La variance vaut \(\sigma^{2} = np(1-p)\) et mesure la dispersion des résultats. L'écart-type vaut \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\), soit la racine carrée de la variance, exprimé dans la même unité que le nombre de succès.
Exemple concret
Imaginons que vous lanciez 10 fois une pièce équilibrée : on a alors \(n = 10\) et \(p = 0{,}5\). La moyenne est $$\mu = 10 \times 0{,}5 = 5$$ faces attendues. La variance est $$\sigma^{2} = 10 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 2{,}5.$$ L'écart-type est $$\sigma = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811.$$ Vous pouvez donc vous attendre à environ 5 faces, à 1,58 près environ.
Foire aux questions
Quelles valeurs peut prendre p ? La probabilité \(p\) doit être comprise entre 0 et 1 inclus. Toute valeur en dehors de cet intervalle est ramenée à ces bornes.
Pourquoi la variance est-elle maximale à p = 0,5 ? Le produit \(p(1-p)\) atteint son maximum lorsque \(p = 0{,}5\) : l'incertitude (la dispersion) est donc la plus forte à cet endroit et diminue vers 0 à mesure que \(p\) se rapproche de 0 ou de 1.
Faut-il un grand n ? Non. Les formules \(\mu = np\) et \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) sont exactes pour tout \(n \geq 1\). Un grand \(n\) n'est nécessaire que si l'on souhaite approximer la loi binomiale par une loi normale.
