Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir örnek ortalaması (\(\mu\)) ve standart sapması (\(\sigma\)) verildiğinde, bir "gerçek değerin" büyük olasılıkla içinde bulunduğu aralığı tahmin eder. Söz konusu büyüklüğün normal dağılıma uyduğunu varsayar ve simetrik, iki taraflı \(\mu \pm z\cdot\sigma\) aralığını verir. Burada \(z\), seçtiğiniz güven düzeyine karşılık gelen standart normal kritik değerdir. Ortalama ve standart sapma yalnızca birer sayıdır; aralık da girdiğiniz birim cinsinden döndürülür.
Nasıl kullanılır?
Ortalamanızı, standart sapmanızı (0 veya daha büyük olmalı) ve yüzde olarak bir güven düzeyini girin; bu değer 50 < güven < 100 aralığında olmalıdır (genellikle 95). Hesaplayıcı yüzdeyi bir \(p\) olasılığına çevirir, \(z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1+p}{2}\right)\) kritik değerini bulur ve alt ile üst sınırları döndürür. %100'de aralık sonsuz olacağından, güven düzeyi 100'ün altında kalmalıdır.
Formülün açıklaması
$$\text{CI} = \text{Mean }\mu \pm z \cdot \text{SD }\sigma$$ $$\text{burada}\quad z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1 + \frac{\text{Confidence }\%}{100}}{2}\right)$$ \(p = \text{güven}/100\) olasılığı için iki taraflı \(z\) değeri, \(\frac{1+p}{2}\) noktasındaki standart normal kuantildir. %95 için bu, \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}95996\) olduğundan aralık \(\mu \pm 1{,}96\sigma\) olur. Aklınızda bulunması yararlı eşikler: %68,26 kapsama \(\mu \pm 1\sigma\)'ya, %95,45 \(\mu \pm 2\sigma\)'ya ve %99,73 \(\mu \pm 3\sigma\)'ya karşılık gelir. Ters normal CDF, rasyonel bir yaklaşım (Acklam) ile bir Halley iyileştirme adımı kullanılarak hesaplanır; bu nedenle herhangi bir tablo gerekmez.
Çözümlü örnek
Ortalama = 100, sd = 5 ve güven = %99 için: \(p = 0{,}99\), \(z = \Phi^{-1}(0{,}995) \approx 2{,}57583\). Alt sınır $$= 100 - 2{,}57583\cdot 5 = 87{,}121$$ üst sınır $$= 100 + 12{,}879 = 112{,}879$$ Sonuç "87,12 ile 112,88 arasında" şeklinde okunur.
Sık sorulan sorular
%95 için neden 1,645 değil de 1,96 kullanılıyor? Simetrik, iki taraflı bir aralık, kalan %5'i her biri %2,5 olan iki kuyruğa böler; bu da \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\) değerini verir. 1,645 değeri tek taraflı %95 kuantilidir ve iki taraflı bir aralık için doğru değildir.
Bunun yerine t-dağılımını mı kullanmalıyım? \(\sigma\) küçük bir örnekten tahmin edildiğinde, örnek büyüklüğü \(n\)'ye dayalı bir t-dağılımı (aralık: \(\text{ortalama} \pm t\cdot s/\sqrt{n}\)) daha uygundur. Bu araç bilinçli olarak \(\sigma\)'yı bilinen bir ana kütle değeri olarak ele alır ve normal \(z\)'yi kullanır; bu yüzden \(n\)'ye ihtiyaç duymaz.
sd = 0 olursa ne olur? Aralık tek bir noktaya, yani [ortalama, ortalama] değerine indirgenir.
