ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقدّر هذه الأداة النطاق الذي يُرجَّح أن تقع فيه «القيمة الحقيقية» انطلاقًا من المتوسط (\(\mu\)) والانحراف المعياري (\(\sigma\)) لعيّنتك. وهي تفترض أن الكمية تتبع توزيعًا طبيعيًا، ثم تُعيد الفترة الثنائية الطرف المتماثلة \(\mu \pm z\cdot\sigma\)، حيث \(z\) هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي عند مستوى الثقة الذي تختاره. المتوسط والانحراف المعياري قيمتان عدديتان عاديتان، وتُعرض الفترة بالوحدات نفسها التي أدخلتها.
طريقة الاستخدام
أدخل المتوسط، والانحراف المعياري (يجب أن يكون 0 أو أكبر)، ومستوى الثقة كنسبة مئوية ضمن المجال 50 < مستوى الثقة < 100 (وغالبًا ما يُستخدم 95). تحوّل الحاسبة النسبة المئوية إلى احتمال \(p\)، ثم تحسب القيمة الحرجة \(z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{1+p}{2}\right)\)، وتُعيد الحدّين الأدنى والأعلى. وعند 100% تصبح الفترة لا نهائية، لذا يجب أن يبقى مستوى الثقة دون 100.
شرح المعادلة
بالنسبة للاحتمال \(p = \text{مستوى الثقة}/100\)، تكون قيمة \(z\) الثنائية الطرف هي الكميل (quantile) للتوزيع الطبيعي القياسي عند \((1+p)/2\).
$$\text{CI} = \text{Mean }\mu \pm z \cdot \text{SD }\sigma$$فعند 95% تكون \(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.95996\)، وبذلك تكون الفترة \(\mu \pm 1.96\sigma\). وإليك بعض المعالم المفيدة: تغطية 68.26% تقابل \(\mu \pm 1\sigma\)، و95.45% تقابل \(\mu \pm 2\sigma\)، و99.73% تقابل \(\mu \pm 3\sigma\). تُحسب الدالة العكسية للتوزيع الطبيعي التراكمي باستخدام تقريب كسري (Acklam) مع خطوة تحسين بطريقة Halley، فلا حاجة إلى جدول بحث.
مثال محلول
بافتراض المتوسط = 100، والانحراف المعياري = 5، ومستوى الثقة = 99%: يكون \(p = 0.99\)، و\(z = \Phi^{-1}(0.995) \approx 2.57583\). الحد الأدنى:
$$100 - 2.57583\cdot 5 = 87.121$$والحد الأعلى:
$$100 + 12.879 = 112.879$$فتظهر النتيجة على هيئة «بين 87.12 و112.88».
الأسئلة الشائعة
لماذا تستخدم 1.96 لمستوى 95% وليس 1.645؟ الفترة المتماثلة الثنائية الطرف تقسّم الـ5% المتبقية إلى ذيلين بنسبة 2.5% لكل منهما، فينتج \(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\). أما القيمة 1.645 فهي الكميل أحادي الطرف عند 95%، وهي غير صحيحة لنطاق ثنائي الطرف.
هل ينبغي أن أستخدم توزيع t بدلًا من ذلك؟ عندما يُقدَّر \(\sigma\) من عيّنة صغيرة، يكون توزيع t بحجم عيّنة \(n\) (الفترة \(\text{المتوسط} \pm t\cdot s/\sqrt{n}\)) أنسب. أما هذه الأداة فتتعامل مع \(\sigma\) عمدًا باعتبارها قيمة معروفة للمجتمع وتستخدم \(z\) للتوزيع الطبيعي، ولذلك فهي لا تتطلب معرفة \(n\).
ماذا لو كان الانحراف المعياري = 0؟ عندئذٍ تنكمش الفترة إلى نقطة واحدة [المتوسط، المتوسط].
