À quoi sert ce calculateur
Ce calculateur d'équité par test du khi-deux vous indique si un dé à six faces est équilibré (honnête) ou truqué. Il vous suffit d'indiquer combien de fois chaque face (de 1 à 6) est sortie : l'outil applique alors un test du khi-deux d'ajustement de Pearson, qui compare vos effectifs observés à la répartition uniforme attendue. Comme il s'agit de statistiques pures, la méthode est universelle et donne le même résultat partout dans le monde.
Mode d'emploi
Lancez le dé un grand nombre de fois et notez les résultats. Saisissez ensuite l'effectif de chacune des six faces. Le calculateur détermine l'effectif attendu par face, la statistique du test du khi-deux, puis la probabilité cumulée (queue supérieure) qu'un dé réellement équilibré s'écarte au moins autant de la moyenne. Une probabilité élevée signale un dé qui semble honnête ; une probabilité faible trahit un biais.
La formule expliquée
Soit N le nombre total de lancers et \(k = 6\) le nombre de faces. L'effectif attendu par face vaut \(E = N / 6\). La statistique du test s'écrit
$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{6} \frac{(O_i - E)^2}{E}$$où \(O_i\) est l'effectif observé pour la face i. Avec un nombre de degrés de liberté \(\text{ddl} = k - 1 = 5\), la probabilité cumulée correspond à la valeur de la queue supérieure (fonction de survie) de la loi du khi-deux :
$$P = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\tfrac{x}{2}}\right) + \sqrt{\tfrac{2x}{\pi}} \cdot e^{-x/2} \cdot \left(1 + \tfrac{x}{3}\right)$$exprimée en pourcentage.
Exemple concret
Imaginons que les faces soient sorties selon [3, 6, 4, 7, 2, 5]. On a alors \(N = 27\) et \(E = 27/6 = 4{,}5\). La somme des écarts au carré divisés par E vaut environ \(3{,}889\). La probabilité de la queue supérieure du khi-deux pour \(x = 3{,}889\) avec \(\text{ddl} = 5\) est d'environ \(56{,}6\,\%\). Comme elle dépasse 50 %, on peut considérer le dé comme équilibré.
Foire aux questions
Pourquoi un faible nombre de lancers donne-t-il toujours un dé « équitable » ? Les petits échantillons produisent des statistiques du khi-deux faibles et donc des probabilités élevées : le test reste prudent. Lancez le dé de nombreuses fois (plusieurs centaines) pour obtenir un résultat fiable.
À partir de quelle probabilité un dé est-il jugé truqué ? Au-dessus de 50 %, le dé semble équitable ; entre 20 et 50 %, le résultat n'est pas tranché ; en dessous de 20 %, le doute s'installe ; et sous les 5 %, vous avez de solides raisons de mettre le dé de côté.
Puis-je l'utiliser pour d'autres types de dés ? Cet outil est fixé à six faces (\(\text{ddl} = 5\)). La même méthode se généralise toutefois à k faces avec \(\text{ddl} = k - 1\).
