À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de point de pourcentage du khi-deux inverse détermine le quantile x de la loi du khi-deux à partir d'une probabilité cumulée et du nombre de degrés de liberté. Autrement dit, il résout la fonction de répartition inverse (FDR inverse) et renvoie la valeur critique utilisée dans les tests d'hypothèses, les intervalles de confiance et les analyses d'adéquation (test du khi-deux). Il s'agit de mathématiques pures et universelles : les résultats sont identiques partout dans le monde, quel que soit le pays.
Comment l'utiliser
Commencez par choisir le mode cumulé. Optez pour Queue à gauche si votre probabilité P correspond à P(X ≤ x), c'est-à-dire l'aire située à gauche. Optez pour Queue à droite si votre probabilité Q correspond à P(X > x), soit l'aire à droite — la forme la plus courante pour les valeurs critiques. Saisissez ensuite la probabilité comprise entre 0 et 1, puis le nombre de degrés de liberté (nu), qui doit être strictement positif. Le calculateur vous renvoie alors la valeur de \(x\).
La formule
La fonction de répartition du khi-deux à nu degrés de liberté s'écrit \(F(x;\ \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right)\), où \(P\) désigne la fonction gamma incomplète inférieure régularisée. Pour la queue à gauche, on résout :
$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$Pour la queue à droite, on pose \(p_{\text{eff}} = 1 - Q\) puis on résout :
$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$L'équation est inversée numériquement grâce à une méthode de bissection robuste avec encadrement appliquée à \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\).
Exemple concret
Queue à droite, \(Q = 0{,}05\), \(\nu = 10\). On a alors \(p_{\text{eff}} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\), et il faut résoudre \(F(x;\ 10) = 0{,}95\), c'est-à-dire \(\text{regularizedGammaP}(5, x/2) = 0{,}95\). La racine vaut \(x \approx 18{,}307\) : c'est la valeur critique bien connue du khi-deux pour 10 degrés de liberté au seuil de 5 % en queue à droite.
Foire aux questions
Que signifient ici les degrés de liberté ? Il s'agit du paramètre de forme nu de la loi du khi-deux ; le paramètre de forme gamma équivalent est \(\nu/2\), avec une échelle de 2.
Queue à gauche ou queue à droite ? La queue à gauche utilise l'aire située à gauche de \(x\), tandis que la queue à droite utilise l'aire à droite de \(x\). Les tables de valeurs critiques indiquent généralement des probabilités en queue à droite.
Pourquoi x peut-il valoir 0 ou devenir très grand ? Lorsque la probabilité effective en queue à gauche tend vers 0, \(x\) tend vers 0 ; lorsqu'elle tend vers 1, \(x\) croît sans limite.
