Ce que fait ce calculateur
Voici un outil de statistiques purement mathématique dédié à la loi exponentielle. Il calcule le point de pourcentage (aussi appelé quantile ou fonction de répartition inverse) x à partir d'une probabilité cumulée et du paramètre d'échelle b. La loi exponentielle est universelle : elle modélise les temps d'attente entre des événements indépendants survenant à un taux moyen constant. Ce calculateur s'applique donc de la même manière partout.
Comment l'utiliser
Commencez par choisir le mode cumulé. Sélectionnez P cumulée inférieure si la probabilité que vous saisissez correspond à la probabilité de queue inférieure P (l'aire à gauche de x), ou Q cumulée supérieure s'il s'agit de la probabilité de queue supérieure Q (l'aire à droite). Entrez ensuite la valeur de probabilité, comprise entre 0 et 1, puis le paramètre d'échelle b, qui doit être strictement positif. L'échelle b est égale à la moyenne de la loi, avec \(b = 1/\lambda\). Le résultat x est exprimé dans la même unité que b.
La formule expliquée
La densité de probabilité exponentielle s'écrit \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\) pour \(x \ge 0\). Sa fonction de répartition inférieure est \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\), et sa fonction de répartition supérieure est \(Q(x) = \exp(-x/b)\). En inversant ces expressions, on obtient le point de pourcentage. En mode inférieur, $$x = -b\cdot\ln(1 - P).$$ En mode supérieur, $$x = -b\cdot\ln(Q).$$ Les deux se ramènent à $$x = -b\cdot\ln(Q),$$ où Q désigne la probabilité de queue supérieure et ln le logarithme naturel (base e).
Exemple détaillé
Supposons que le mode cumulé soit Inférieur, avec une probabilité \(P = 0{,}4\) et une échelle \(b = 1\). On a alors $$x = -1\cdot\ln(1 - 0{,}4) = -\ln(0{,}6) = 0{,}51083.$$ Vérification : \(P(0{,}51083) = 1 - \exp(-0{,}51083) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Le résultat est correct.
FAQ
Qu'est-ce que le paramètre d'échelle b ? C'est la moyenne de la loi, \(b = 1/\lambda\), où \(\lambda\) représente le taux. Un b plus grand signifie que les événements mettent en moyenne plus de temps à survenir.
Pourquoi le résultat peut-il être infini ? En mode inférieur, \(P = 1\) (ou \(Q = 0\) en mode supérieur) correspond à la totalité de la queue, ce qui repousse x vers l'infini. Dans ce cas, le calculateur le signale plutôt que de renvoyer un nombre.
Mode inférieur ou supérieur : lequel choisir ? Utilisez le mode inférieur lorsque vous connaissez la probabilité cumulée jusqu'à x (un percentile comme la médiane). Utilisez le mode supérieur lorsque vous connaissez une probabilité de survie ou de dépassement au-delà de x.
