Qué hace esta calculadora
Se trata de una herramienta estadística de matemática pura para la distribución exponencial. Calcula el punto porcentual (también llamado cuantil o función de distribución acumulada inversa) x a partir de una probabilidad acumulada y del parámetro de escala b. La distribución exponencial es universal — modela los tiempos de espera entre sucesos independientes que ocurren a una tasa media constante —, de modo que esta calculadora se aplica por igual en cualquier contexto.
Cómo usarla
Elige el modo acumulado. Selecciona P acumulada inferior si la probabilidad que introduces es la probabilidad de cola izquierda P (el área a la izquierda de x), o Q acumulada superior si es la probabilidad de cola derecha Q (el área a la derecha). Introduce el valor de probabilidad entre 0 y 1 y, a continuación, el parámetro de escala b, que debe ser positivo. La escala b coincide con la media de la distribución, donde \(b = 1/\lambda\). El resultado x se expresa en las mismas unidades que b.
La fórmula explicada
La densidad de probabilidad exponencial es \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\) para \(x \ge 0\). Su función acumulada inferior es \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\), y su función acumulada superior es \(Q(x) = \exp(-x/b)\). Al invertirlas se obtiene el punto porcentual. En el modo inferior, $$x = -b\cdot\ln(1 - P).$$ En el modo superior, $$x = -b\cdot\ln(Q).$$ Ambas se reducen a \(x = -b\cdot\ln(Q)\), donde Q es la probabilidad de cola superior y ln es el logaritmo natural (base e).
Ejemplo resuelto
Supongamos que el modo acumulado es Inferior, la probabilidad P = 0,4 y la escala b = 1. Entonces $$x = -1\cdot\ln(1 - 0{,}4) = -\ln(0{,}6) = 0{,}51083.$$ Comprobación: \(P(0{,}51083) = 1 - \exp(-0{,}51083) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Correcto.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el parámetro de escala b? Es la media de la distribución, \(b = 1/\lambda\), donde \(\lambda\) es la tasa. Un valor de b mayor significa que, en promedio, los sucesos tardan más en producirse.
¿Por qué el resultado puede ser infinito? En el modo inferior, P = 1 (o Q = 0 en el modo superior) corresponde a toda la cola, lo que lleva x al infinito. La calculadora indica este caso en lugar de devolver un número.
Modo inferior o superior: ¿cuál elijo? Usa el modo inferior cuando conoces la probabilidad acumulada hasta x (un percentil como la mediana). Usa el modo superior cuando conoces una probabilidad de supervivencia o de superación más allá de x.
