¿Qué es la calculadora de percentiles de la distribución de Pareto?
Esta herramienta calcula el percentil, también llamado cuantil, de una distribución de Pareto tipo I. A partir de una probabilidad acumulada objetivo y los dos parámetros de la distribución — el parámetro de escala \(a\) (el valor mínimo \(x_m\)) y el parámetro de forma \(b\) (alfa, el índice de cola) —, devuelve el valor \(x\) en el que la distribución alcanza esa probabilidad. La distribución de Pareto se utiliza ampliamente para modelar la riqueza, los ingresos, el tamaño de las ciudades, el tamaño de los archivos y otros fenómenos de cola pesada que siguen el famoso patrón "80/20".
Cómo utilizarla
Primero elige el modo acumulado. Selecciona "P acumulada inferior" si tu probabilidad corresponde a la función de distribución de la cola inferior \(P = \Pr(X \le x)\), o "Q acumulada superior" si se trata del valor de supervivencia de la cola superior \(Q = \Pr(X > x)\). Introduce la probabilidad acumulada entre 0 y 1 y, a continuación, el parámetro de escala \(a\) (debe ser mayor que 0) y el parámetro de forma \(b\) (debe ser mayor que 0). La calculadora convierte tu dato a una probabilidad de cola inferior e invierte la función de distribución.
La fórmula explicada
La función de distribución (CDF) de Pareto tipo I para \(x \ge a\) es $$P(x) = 1 - \left(\frac{a}{x}\right)^{b}.$$ Al despejar \(x\) obtenemos $$x = a \cdot \left(1 - P\right)^{-1/b}.$$ Cuando introduces una probabilidad de cola superior \(Q\), ten en cuenta que \(1 - P = Q\), de modo que la fórmula queda como $$x = a \cdot Q^{-1/b}.$$ Como \(a > 0\) y \(0 \le 1 - P \le 1\) con \(b > 0\), el resultado siempre cumple \(x \ge a\), situándose dentro del soporte de la distribución.
Ejemplo resuelto
Tomemos el caso de cola superior con \(Q = 0{,}1\), \(a = 2\) y \(b = 3\). Entonces $$x = 2 \cdot (0{,}1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2{,}15443 = 4{,}30887.$$ Comprobación: \(Q(x) = \left(\frac{2}{4{,}30887}\right)^3 \approx 0{,}1\), lo que confirma el resultado. Para la Pareto estándar con \(a = 1\), \(b = 1\) y \(P = 0{,}5\), la mediana es \(x = \frac{1}{1 - 0{,}5} = 2\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando P = 1 (o Q = 0)? El cuantil no está acotado (infinito), porque la distribución de Pareto tiene una cola derecha infinitamente larga. La calculadora avisa de ello en lugar de dividir entre cero.
¿Qué significa el resultado cuando P = 0? El cuantil es igual a \(a\), el valor mínimo y el extremo izquierdo del soporte.
¿Cuál es la diferencia entre escala y forma? La escala \(a\) fija el valor mínimo posible, mientras que la forma \(b\) controla lo pesada que es la cola — cuanto menor es \(b\), más pesada es la cola y mayores son los valores extremos.
