什麼是柏拉圖分布百分位數計算器？
這個工具用來計算柏拉圖第一型（Pareto Type I）分布的百分位數，也就是所謂的分位數。只要給定一個目標累積機率，以及分布的兩個參數——尺度參數 \(a\)（最小值 \(x_m\)）和形狀參數 \(b\)（即 alpha，尾端指數）——它就會回傳分布達到該機率時所對應的數值 \(x\)。柏拉圖分布常用來描述財富、所得、城市規模、檔案大小等具有「重尾」特性、符合「80/20 法則」的現象。
使用方式
首先選擇累積模式。如果你手上的機率是下尾的 CDF 值 \(P = \Pr(X \le x)\)，請選「下尾累積機率 P」；如果是上尾的生存機率 \(Q = \Pr(X > x)\)，則選「上尾累積機率 Q」。接著輸入介於 0 到 1 之間的累積機率，再填入尺度參數 \(a\)（必須大於 0）與形狀參數 \(b\)（必須大於 0）。計算器會先將你的輸入轉換為下尾機率，再對 CDF 進行反運算求解。
公式說明
當 \(x \ge a\) 時，柏拉圖第一型分布的 CDF 為 $$P(x) = 1 - \left(\frac{a}{x}\right)^{b}.$$ 對 \(x\) 求解可得 $$x = a \cdot \left(1 - P\right)^{-1/b}.$$ 若你輸入的是上尾機率 \(Q\)，由於 \(1 - P = Q\)，公式便簡化為 $$x = a \cdot Q^{-1/b}.$$ 因為 \(a > 0\)、\(0 \le 1 - P \le 1\) 且 \(b > 0\)，計算結果必定滿足 \(x \ge a\)，落在分布的有效範圍內。
實例演算
以上尾情形為例，設 \(Q = 0.1\)、\(a = 2\)、\(b = 3\)，則 $$x = 2 \cdot (0.1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2.15443 = 4.30887.$$ 驗證一下：\(Q(x) = \left(\frac{2}{4.30887}\right)^{3} \approx 0.1\)，結果無誤。再看標準柏拉圖分布，當 \(a = 1\)、\(b = 1\) 且 \(P = 0.5\) 時，中位數為 $$x = \frac{1}{1 - 0.5} = 2.$$
常見問題
當 P = 1（或 Q = 0）時會發生什麼事？此時分位數會趨於無限大，因為柏拉圖分布的右尾無限延伸。計算器會特別標示這種情況，而不會出現除以零的錯誤。
當 P = 0 時結果代表什麼？分位數等於 \(a\)，也就是分布的最小值與左端點。
尺度參數和形狀參數有何不同？尺度參數 \(a\) 決定可能的最小值，而形狀參數 \(b\) 則控制尾端的厚薄——\(b\) 越小代表尾端越重、出現極端大值的機會越高。
