파레토 분포 백분위수 계산기란?
이 도구는 파레토 1종(Type I) 분포의 백분위수(분위수, quantile)를 계산합니다. 목표 누적확률과 분포의 두 가지 모수—척도 모수 \(a\)(최솟값 \(x_m\))와 형상 모수 \(b\)(알파, 꼬리 지수)—를 입력하면, 분포가 해당 확률에 도달하는 값 \(x\)를 돌려줍니다. 파레토 분포는 부의 분포, 소득, 도시 인구 규모, 파일 크기를 비롯해 이른바 "80/20 법칙"을 따르는 두꺼운 꼬리(heavy-tail) 현상을 모델링하는 데 널리 쓰입니다.
사용 방법
먼저 누적 방식을 선택하세요. 입력하려는 확률이 하측 누적확률 \(P = \Pr(X \le x)\)이라면 "하측 누적확률 P"를, 상측 생존확률 \(Q = \Pr(X > x)\)라면 "상측 누적확률 Q"를 고릅니다. 다음으로 0과 1 사이의 누적확률을 입력하고, 척도 모수 \(a\)(0보다 커야 함)와 형상 모수 \(b\)(0보다 커야 함)를 넣습니다. 계산기는 입력값을 하측 누적확률로 정규화한 뒤 CDF를 역산합니다.
공식 풀이
\(x \ge a\) 범위에서 파레토 1종 분포의 CDF는 $$P(x) = 1 - \left(\frac{a}{x}\right)^{b}$$ 입니다. 이를 \(x\)에 대해 풀면 $$x = \text{a} \cdot \left(1 - \text{P}\right)^{-1/\text{b}}$$가 됩니다. 상측 누적확률 \(Q\)를 입력한 경우 \(1 - P = Q\)이므로 공식은 $$x = \text{a} \cdot \left(\text{Q}\right)^{-1/\text{b}}$$로 바뀝니다. \(a > 0\)이고 \(0 \le 1 - P \le 1\), \(b > 0\)이므로 결과는 항상 \(x \ge a\)를 만족하며 분포의 지지집합 안에 떨어집니다.
계산 예시
상측 누적의 경우로 \(Q = 0.1\), \(a = 2\), \(b = 3\)을 살펴봅시다. 그러면 $$x = 2 \cdot (0.1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2.15443 = 4.30887$$ 입니다. 검산해 보면 \(Q(x) = \left(\frac{2}{4.30887}\right)^{3} \approx 0.1\)로, 결과가 맞음을 확인할 수 있습니다. \(a = 1\), \(b = 1\)인 표준 파레토 분포에서 \(P = 0.5\)라면 중앙값은 $$x = \frac{1}{1 - 0.5} = 2$$ 입니다.
자주 묻는 질문
P = 1(또는 Q = 0)일 때는 어떻게 되나요? 파레토 분포는 오른쪽 꼬리가 무한히 길기 때문에 분위수가 무한대로 발산합니다. 이 계산기는 0으로 나누는 대신 이 상황을 별도로 표시합니다.
P = 0일 때 결과는 무엇을 의미하나요? 분위수는 \(a\), 즉 최솟값이자 지지집합의 왼쪽 끝점과 같습니다.
척도와 형상의 차이는 무엇인가요? 척도 \(a\)는 가능한 최솟값을 정하고, 형상 \(b\)는 꼬리가 얼마나 두꺼운지를 조절합니다. \(b\)가 작을수록 꼬리가 두꺼워지고 극단값이 더 커집니다.
