일반화 파레토 분포(GPD)의 백분위수란?
일반화 파레토 분포(Generalized Pareto Distribution, GPD)는 극단값 통계에서 데이터의 꼬리 거동, 즉 높은 임계값을 초과하는 값(초과량)을 모델링하는 데 널리 쓰이는 연속 확률분포입니다. 이 분포의 백분위수(분위수 또는 백분위점)란, 누적확률 \(F(x)\)가 우리가 정한 확률 \(P\)와 같아지는 값 \(x\)를 말합니다. 이 계산기는 위치 모수 \(\mu\), 척도 모수 \(\sigma\), 형상 모수 \(\xi\) 세 가지 표준 모수를 받아 누적분포함수의 역함수(역CDF)를 계산합니다. 이는 순수한 통계 함수로, 특정 국가나 제도에 국한되지 않습니다.
계산기 사용 방법
먼저 누적 방식을 선택하세요. 확률이 \(P = \Pr(X \le x)\) 형태라면 "하측 누적확률 P"를 고르고, 확률이 생존확률 \(Q = \Pr(X > x)\) 형태라면 "상측 누적확률 Q"를 선택합니다. 이 경우 계산기가 내부적으로 \(P = 1 - Q\)로 변환합니다. 그런 다음 누적확률(0과 1 사이), 위치 모수 \(\mu\), 척도 모수 \(\sigma\)(반드시 0보다 커야 함), 형상 모수 \(\xi\)를 입력하세요. 결과는 해당 확률 지점의 백분위수 \(x\)입니다.
공식 설명
GPD의 CDF는 \(\xi \ne 0\)일 때 $$F(x) = 1 - \left(1 + \xi\cdot\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$이고, \(\xi = 0\)일 때는 $$F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$입니다. 하측 누적확률 \(P\)가 주어졌을 때 \(x\)에 대해 역으로 풀면, \(\xi \ne 0\)인 경우 $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\cdot\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$, \(\xi = 0\)인 경우 $$x = \mu - \sigma\cdot\ln(1 - P)$$가 됩니다. \(\xi\)로 나누는 연산은 0에서 정의되지 않으므로, \(|\xi|\)가 \(\text{1e-12}\)보다 작으면 지수분포 경우로 처리합니다.
계산 예시
방식 = 하측, \(P = 0.9\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 0.5\)인 경우: $$x = \frac{1}{0.5}\cdot\left[(1 - 0.9)^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot[3.1622777 - 1] = 4.3245553.$$
자주 묻는 질문
\(\xi = 0\)이면 어떻게 되나요? GPD는 평행 이동된 지수분포로 단순화되며, 분위수는 위에서 설명한 로그 공식을 사용합니다.
상측 범위는 항상 무한한가요? 그렇지 않습니다. \(\xi < 0\)이면 분포의 범위가 위쪽으로 \(x = \mu - \sigma/\xi\)에서 유한하게 제한됩니다. \(P = 1\)일 때 계산기는 이 유한한 끝점을 반환합니다. \(\xi \ge 0\)이면 상측 꼬리가 무한하므로 \(P = 1\)에서 양의 무한대가 됩니다.
\(\sigma\)는 왜 양수여야 하나요? 척도 모수 \(\sigma\)는 분포의 퍼짐 정도를 결정합니다. \(\sigma\)가 0 이하이면 분포 자체가 정의되지 않습니다.
